0引言随着现代科学技术的发展，一方面，电力电子设备的广泛应用使得供电系统中的各类非线性负载大量增加，导致电网中电能质量问题越来越严重.另一方面，生产自动化、数字化和集成化程度在不断提高，计算机系统、自动化流水线、机器人等敏感负荷的普遍应用使得电力用户对电能质量的要求越来越高.STATCOM作为柔性交流输电系统（FACTS）装置之一，可用于调节无功，提高电力系统的稳定性；同时，它作为配电网中“用户电力”的一个重要设备［1］，可以在电网连接点处提供快速的电压和无功调节，既能改善配电网供电质量，提高线路的功率因数、减小线损，又可保护电网不受谐波、电压闪变和电压不对称之类的污染.与传统两电平逆变器相比，虽然三电平逆变器主电路结构和控制较复杂，但它有其特点［2］：1） 每个主管承受的关断电压仅为直流母线电压的一半，适用于高压大容量的功率应用领域；2） 能产生5个电平的线电压，在相同开关频率及控制方式下，其输出电压或电流中的谐波含量远小于传统的两电平逆变器.因此，它在中高压变频调速和电力系统无功补偿等领域的应用越来越广［3~7］.直接对大功率电力电子装置进行试验既费时又成本高，在研制时需建立装置的数学与仿真模型，对装置及其控制方法的有效性进行仿真分析.利用开关函数的概念，建立三电平STATCOM的数学模型，对其电压和电流进行理论和仿真分析.1三电平STATCOM的数学模型三电平逆变器主电路结构如图1（a）所示，每相含有4个开关管T1~T4及相应的反并联二极管D1~D4和2个钳位二极管D5、D6.其中T1、T4相当于两电平逆变器中的上下互补开关管，而T2（D2）、T3（D3）与D5、D6构成中点钳位电路.直流侧由2个电容Cd串联而成，其中点O与D5、D6中点相连，以实现中点钳位.当udc1=udc2=udc/2时，主开关管T1~T4关断时承受的电压为udc/2.
(a) 主电路(b) 单相等效电路

图1三电平STATCOM主电路原理图
Fig.1The schematic diagram of the threelevel STATCOM power circuitSTATCOM的单相等效电路如图1（b）所示，其中Us为电网电压相量，Uc为STATCOM的输出电压相量，R和L是一相总的电阻和电感(包括逆变器和线路阻抗等)。通过控制STATCOM输出基波电压的有效值Uc和相位δ实现STATCOM与电网的功率交换。假设STATCOM处于无损耗的理想状态，则它只与电网进行无功功率交换。此时Uc与Us同相位，通过改变STATCOM输出基波电压有效值Uc就可控制无功功率。若Uc大于电网电压有效值Us，则I超前Us90°, STATCOM输入容性无功电流；若Uc小于Us，则I滞后于Us90°,呈感性，STATCOM吸收感性无功功率。但实际系统由于存在器件开关损耗等必须从电网吸收有功功率以补偿内部损耗，否则直流侧电容将放电释放能量导致直流电压下降。为保持直流电压恒定，Uc与Us间必须有相位差δ，其相应的相量图如图2。改变Uc和δ，I的相位和大小也随之变化，STATCOM与电网的无功交换也就得到了控制。定义三相开关函数为
Si=+1T1i、T2i导通,T3i、T4i截止
0T2i、T3i导通，T1i、T4i截止
-1T3i、T4i导通，T1i、T2i截止
i=a,b,c(1)
（a） 电流滞后（感性）（b）电流超前（容性）

图2STATCOM的电压相量图
Fig.2The voltage phasor diagram of STATCOM
将开关函数Si进一步分解为三个开关函数S1i、S2i、S3i，其中i =a, b, c 使它们满足以下条件：若Si＝1，则S1i＝1，S2i＝0，S3i＝0；若Si＝0，则S1i＝0，S2i＝1，S3i＝0；若Si＝－1，则S1i＝0，S2i＝0，S3i＝1；
S1i＋S2i＋S3i＝1，i=a,b,c(2)根据图1和开关函数的定义可推得三电平STATCOM在ABC三相坐标系下的数学模型为第1期文小玲，等：三电平STATCOM的建模和仿真分析
武汉工程大学学报第30卷
Ladiadt
Lbdibdt
Lcdicdt
Cddudc1dt
Cddudc2dt=-Ra00-S1a-S1a1+S1b1+S1c13S3a-S3a1+S3b1+S3c13
0-Rb0-S1b-S1a1+S1b1+S1c13S3b-S3a1+S3b1+S3c13
00-Rc-S1c-S1a1+S1b1+S1c13S3c-S3a1+S3b1+S3c13
S1aS1bS1c00
-S3a-S3b-S3cua
ub
uc
udc1
udc2+usa
usb
usc
0
0（3）2电压电流波形分析2.1电压谐波分析设三电平STATCOM采用基频调制（FFM）方式，其输出相、线电压uao、uab波形如图3所示.图3三电平STATCOM输出相电压和线电压波形
Fig.3Phasetophase voltage waveform and phase to neutral voltage waveform在电容电压udc1=udc2=E的条件下，将图3中的uab波形按傅立叶级数展开可得线电压基波和各次谐波幅值表达式为
Uk=8E3kπ1+cosk·π3cos(kβ)k=6N±1,N=0,1,2,…（4）令η=∑U2k/U1和N分别取0，1，2，3,…,25，让β在0°～25°之间变化，可得η随β的变化曲线如图4所示.当β＝15.18°时，电压谐波含量最小,η=16.502 7%,而当β＝15°时，η=16.507 5%，可见二者的电压谐波总畸变率相差不大.
图4η随β的变化曲线
Fig.4The variation of η in β2.2三相交流电流设电网电压为三相正弦波，且忽略STATCOM的有功损耗，若Ra=Rb=Rc=0，可推得三相电流表达式.其前半周期内（0≤ωt≤π）A相电流表达式为
ia(ωt)=-UmωLcos(ωt)+4πE9ωL-2Eβ3ωL0≤ωt≤β
-UmωLcos(ωt)-2E3Lt+4πE9ωLβ≤ωt≤π/3-β
-UmωLcos(ωt)-ELt+5πE9ωL-Eβ3ωLπ/3-β≤ωt≤π/3+β
-UmωLcos(ωt)-4E3Lt+2πE2ωLπ/3+β≤ωt≤2π/3-β
-UmωLcos(ωt)-ELt+4πE9ωL+Eβ3ωL2π/3-β≤ωt≤2π/3+β
-UmωLcos(ωt)-2E3Lt+2πE9ωL2π/3+β≤ωt≤π-β
-UmωLcos(ωt)-4πE9ωL+2Eβ3ωLπ-β≤ωt≤π(5)

由于后半周期内（π≤ωt≤2π）的电流波形与前半周期内的波形关于横轴镜像对称，因此在式（5）的基础上取ia(ωt)=-ia(ωt-π)即得后半周期内的电流表达式.
2.3直流侧电流直流侧电流以3倍于基波的频率交变，根据图1并利用三相电流可按式（6）～（8）求得直流侧的电流表达式.
ip(ωt)=Cddudc1dt=ic(ωt)0≤ωt≤β
ia(ωt)+ic(ωt)β≤ωt≤π/3
ia(ωt)π/3≤ωt≤π/3+β
ia(ωt)π/3+β≤ωt≤2π/3（6）
i0(ωt)=ia(ωt)0≤ωt≤β
0β≤ωt≤π/3
ic(ωt)π/3≤ωt≤π/3+β
0π/3+β≤ωt≤2π/3（7）
iN(ωt)=Cddudc2dt=-［ip(ωt)+i0(ωt)］（8）
2.4直流侧电压假设直流侧电容为无限大，则可认为其电容电压保持为某个常数不变.实际上电容是有限的，因此直流侧电容电压中存在脉动量，其大小与电容电流和电容值有关.由udc1(t)=1Cd∫tt1ip(t)dt+U01和udc2(t)=-1Cd∫tt1iN(t)dt+U02可推得它们的表达式（由于太长故略去）.设β＝π/12，由E=3ω2π∫2π3ω0udc1(t)dt和E=3ω2π∫2π3ω0udc2(t)dt得
U01=U02=-0.008 36Umω2LC+0.007 61π2Eω2LC+E（9）上述分析基于三电平STATCOM本身无损耗，只与电网进行无功功率的交换.但实际上，由于开关器件存在开关损耗等原因使得STATCOM在运行过程中会消耗有功功率.通过控制电网电压与STATCOM输出电压基波分量相位角δ的大小可达到补偿STATCOM有功损耗的目的.3仿真结果及分析为验证模型的有效性和上述理论分析的正确性，利用三电平STATCOM的数学模型式（3）对电压和电流进行了仿真分析.仿真条件为［8］：交流侧三相电网电压对称，其中usa=Umsin(ωt)，Um=2.5 V（输入超前电流时）；系统采用基频调制方式；仿真参数为Ra=Rb=Rc=0，La=Lb=Lc=3 mH，β＝π/12，Cd=250 μF.图5为STATCOM的交流侧电压和电流波形；图6为STATCOM的直流侧电流和电压波形；图7为瞬时无功和有功功率波形. （a）相电压uan、线电压uab波形(b) 三相电流波形
图5三电平STATCOM的交流侧电压电流波形
Fig.5The AC current and voltage waveforms of the threelevel STATCOM （a） 直流侧电流波形（b） 直流侧电压波形
图6三电平STATCOM的直流侧电压电流波形
Fig.6The DC current and voltage waveforms of the threelevel STATCOM（a） 输入瞬时容性无功功率波形（b） 输入超前电流时的有功功率波形
图7三电平STATCOM的瞬时无功和有功功率波形
Fig.7The active and reactive power waveforms of the threelevel STATCOM分析上述仿真结果可知:（1） 在电容为有限值的情况下，当忽略STATCOM的损耗时，直流侧电容电压udc1、udc2和udc在平均值上下波动， 其中udc1、 udc2的交变频率为电源电压基波频率的三倍，udc的交变频率为电源电压基波频率的六倍.直流侧电流以三倍于电源电压基波的交变频率变化；瞬时有功和无功功率以六倍于电源电压基波的交变频率变化，有功电流的平均值近似为零；输入容性无功时无功功率为负，同样可以仿真得出当输入感性无功时无功功率为正.（2）在电容为有限值的情况下，当考虑STATCOM的损耗时，例如若Ra=Rb=Rc=0.047 Ω，当Um=2.5 V时，采用有功补偿控制,控制δ为1.19°,可得到基本相同的仿真结果.但值得注意的是，在实际的大容量STATCOM装置中损耗等效电阻不再是常数，它会随着STATCOM工况的不同而变化，这时应随着等效电阻的变化实时改变δ，从而改变控制器的输出，以补偿装置的有功损耗，可采用直流侧电容电压闭环控制方式.4结语以上建立了三电平STATCOM基于开关函数的数学模型，在不考虑系统有功损耗的前提下，对其电压和电流进行了理论分析，给出了相应的表达式.并且利用所建数学模型，针对系统有损耗和无损耗两种情况进行了仿真研究.仿真结果表明，所建模型及电压、电流理论分析方法和结果是正确、有效的，在类似结构的电力电子系统的理论分析与仿真研究中具有一定的实用价值.