《武汉工程大学学报》 2008年02期
117-119
出版日期：2008-02-28
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
经验过程配重和的大数定律的一个结果
可分B值随机元许多重要的大数定律在经验过程中已有相应的形式.文献［1］建立了经验过程的LIL；文献［2］解决了文献［1］中提出的公开问题；文献［3］将Kolmogorov关于非i.i.d.的独立随机变量和的强收敛结果推广到无界函数指标集上的经验过程情形；文献［4］将文献［5］中可分B空间中Cesàro大数定律推广到经验过程，得到了经验过程的Cesàro大数定律.文献［6］得到了B值随机元序列的Marcinkiewicz大数定律，本文按照文献［5］的思想方法讨论了经验过程中配重和的Marcinkiewicz大数定律，得到了配重Marcinkiewicz和几乎处处收敛到0成立的充分必要条件是这类和依概率收敛到0.设（Ω，F，P）是一概率空间，（S，A）是一可测空间，{Xk}k≥0为定义在（Ω，F，P）上取值于（S，A）中的随机元序列.{X′k}k≥0是{Xk}k≥0的独立版本.G是S上的一族实值A可测函数.对于任何一个实值族{af}f∈G，记‖af‖G=supf∈G|af|.令X={x∶G→R的映射，‖xf‖G<∞}.对于任意给定的x，y∈X，定义（λx+μy）（f）=λx（f）+μy（f），f∈G.
容易验证（X，‖·‖G）为一线性赋范空间.并且，在一般情况下（X，‖·‖G）是不可分的.本文中设K表示只与p（1<p<∞）有关的常数.定理1设G是可数决定族，{ank}为一实双重数组，max0≤k≤n|ank|≤K，且存在某个常数α<min（1，2/p），使得∑nk=0a2nk≤Knα.若E‖f（X0）‖pG<∞，则下列两款等价：（ⅰ）limn→∞n-1/p∑nk=0ankf（Xk）G=0，in probability（ⅱ）limn→∞n-1/p∑nk=0ankf（Xk）G=0，a.s.证（ⅰ）（ⅱ）.由（ⅰ）及文献［5］中引理4可知，为证（ⅱ）成立，只须证明
limn→∞n-1/p‖∑nk=0ank（f（Xk）-f（X′k））‖G=0，a.s.所以不妨设{f（Xk）}k≥0是独立同分布对称随机元序列.由E‖f（X0）‖pG<∞可得，ε>0，∑n≥0P{‖f（X0）‖pG>εn}<∞.故存在nk↑∞（nk≥k）使得∑n≥nkP‖f（X0）‖pG>nk<1k2，k=1，2，….令cn=2/3，0≤n<n2，
1/k，nk≤n<nk+1，k=2，3，….故
∑n≥0P{‖f（X0）‖pG>cnn}=
∑0≤n<n2∞P{‖f（X0）‖pG>cnn}+
∑k=2∑nk≤n<nk+1P{‖f（X0）‖pG>cnn}≤
∑0≤n<n2P{‖f（X0）‖pG>cnn}+
∑∞k=2∑n≥nkP‖f（X0）‖pG>nk≤
∑0≤n<n2P{‖f（X0）‖pG>cnn}+∑∞k=21k2<∞.令an=c1/pn，显然，n≥0，an∈（0，1），an↓0（n→∞）.所以，存在单调下降到0且属于（0，1）的数列{ak}，满足
∑k≥0P{‖f（Xk）‖G>akk1/p}<∞.由BorelCantelli引理及上式，可知P{‖f（Xk）‖G>akk1/p，i.o.}=0.（1）k≥1，f（Yk）△f（Xk）I{‖f（Xk）‖G≤akk1/p}；n≥1，Wn△n-1/p∑nk=0ankf（Yk）.由（1）式可知，为证（ⅱ）成立，只须证明
limn→∞‖Wn‖G=0，a.s.（2）为此首先证明limn→∞E‖Wn‖G=0.（3）由HoffmannJrgensen［7］不等式，知n≥1，t>0，有
P{‖Wn‖G>3t}≤P{max0≤k≤n‖ankf（Yk）‖G>n1/pt}+4P2{‖Wn‖G>t}≤
inf（1，n-1t-p∑nk=0|ank|pE‖f（X0）‖pG）+4P2{‖Wn‖G>t}.（4）
因为随机映射f（Yk）是有界的，所以‖Wn‖G是可积的.故可选择t0=t0（n）>0，使得P{‖Wn‖G>t0}<1/24.由（4）式可得
E‖Wn‖G=3∫∞0P{‖Wn‖G>3t}dt≤
3∫∞0inf（1，t-pn-1∑nk=0|ank|pE‖f（X0）‖pG）dt+
12t0+12∫∞t0P{‖Wn‖G>t}dt≤
3∫1/lnn0dt+3n-1∫∞1/lnnt-p∑nk=0|ank|pE‖f（X0）‖pGdt+
12E‖Wn‖G+12t0，第2期刘吉定，等：经验过程配重和的大数定律的一个结果
武汉工程大学学报第30卷
由此可得
E‖Wn‖G≤
6lnn+6lnpn（p-1）nlnnE‖f（X0）‖pG∑nk=0|ank|p+24t0.（5）根据（1）式及（ⅰ），可以使t0（n）满足limn→∞t0（n）=0.（6）由max0≤k≤n|ank|≤K及∑nk=0a2nk≤Knα，知lnpnnlnn∑nk=0|ank|p≤Klnn.（7）由（5）~（7）式可知（3）式成立.由f（Yk）的定义、max0≤k≤n|ank|≤K及∑nk=0a2nk≤Knα，知n>0，有
Δ2n△1n2/p∑nk=0a2nkE‖f（Yk）‖2G≤Kn-inf（2/p-α，1-α），（8）根据f（Yk）的定义及max0≤k≤n|ank|≤K易见，ω∈Ω，k=0，1，…，n，有
|ank|n-1/p‖f（Yk（ω））‖G≤Kakk1/pn-1/p.因此，存在收敛于0的正数序列{bn}，满足n-inf（1/p-α/2，（1-α）/2）≤bn，n，ω，sup0≤k≤n（|ank|n-1/p‖f（Yk（ω））‖G）≤bn.（9）由于E‖Wn‖G→0（n→∞），故对任意固定的t>0，存在n（t），使得n≥n（t），
P{‖Wn‖G>t}≥P{‖Wn‖G-E‖Wn‖G>t/2}.由文献［8］中定理2.1及式（9）可知
P{‖Wn‖G-E‖Wn‖G>t/2}≤
2expt4bn-t4bn+Δ2n4b2nln1+tbnΔ2n，注意到bn/Δ2n≥Kninf（1/p-α/2，（1-α）/2）及limn→∞bn=0，故当n充分大时，
P{‖Wn‖G>t}≤
2expt4bn-t8bnln1+tbnΔ2n-t8bnln1+tbnΔ2n≤
2exp-t8bnln1+tbnΔ2n≤n-2，从而t>0，∑n≥1P{‖Wn‖G>t}<∞.由BorelCantelli引理可得式（2）式.（ⅱ）（ⅰ）.若（ⅱ）成立，则（ⅰ）显然成立.这就完成了定理1的证明