《武汉工程大学学报》 2008年03期
122-123
出版日期：2008-03-31
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
一种奇异积分方程的解法
0引言在文献［1］中，路见可讨论了下列封闭曲线情况下的非线性奇异积分方程：
Aφ（t）2+Bπi∫φ（τ）τ-tdτ+C=0,t∈L（1）
其中未知函数φ（t）∈H（L），L是一条光滑的封闭曲线，而A,B,C为已知常数（A,B≠0）.本文在文献［1］的基础上，进一步讨论了在L为一条光滑开口弧段ab情况下方程（1）的一般求解方法，此时要求φ（t）在开口弧段的端点a,b处有不到1阶的奇异性.由于在L为开口弧段的条件下Cauchy主值积分的反演公式不再成立，所以方程不能直接通过文献［1］中所使用的方法求解.这里笔者采用了一种更为简洁的初等方法将非线性奇异积分方程的求解转化一个带平方根的边值问题，而且对于L为光滑封闭曲线的情况下其方法同样适用.1转化为带平方根的Riemann边值
问题假设（1）有解φ（t）∈H（L），令
Φ（z）=12πi∫Lφ（τ）τ-tdτzL（2）
利用Plemelj公式，（1）就转化为
［Φ+（t）-Φ-（t）］2+BA［Φ+（t）+Φ-（t）］+CA=0（3）显然，如果方程（1）有一解φ（t）∈H则由（2）定义的全纯函数Φ（z）是Riemann边值问题（3）在R-1中的一个解.反之，如果边值问题（3）在R-1中有一个解Φ（z），则φ（t）=Φ+（t）-Φ-（t）（4）
便是方程（1）的一个解.这样，方程（1）的求解问题就等价于在R-1中求解问题（3）.现在将问题（3）转化为一个带平方根的Riemann边值问题.令D=-B2A（D为-B2A一确定的平方根），E=4AC-B28AB，于是（3）变为
［Φ+（t）-Φ-（t）］2-2D2［Φ+（t）+Φ-（t）］+
D4-4ED2=0
即［Φ+（t）-Φ-（t）-D2］2=4D2［Φ-（t）+E］
所以Φ+（t）-Φ-（t）-D2=2DΦ-（t）+E.
因为要求φ（t）=Φ+（t）-Φ-（t）在L上连续且单值，故Φ-（t）+E也是如此，只要在L上取定一单值分支， 也即Φ+（t）+E=（Φ-（t）+E+D）2
根据同样的理由，上面方程可化为
Φ+（t）+E=Φ-（t）+E+D
引进函数Ψ（z）=Φ（z）+E（5）
则问题（3）转化为
Ψ+（t）=Ψ-（t）+D（6）这是一个典型的在文献［2］中讨论过的带平方根的Riemann边值问题，它与E的取值有关.当E≠0时，要求其解在z=∞处恰为0阶，且Ψ（∞）=E；而当E=0时，在z=∞处至多为-1阶，即Ψ（∞）=0.2方程（1）的求解根据上面的分析，只须求出（6）的解，然后通过（5），（4）就可求出方程（1）的解.而由文献［2］中的结果知，须考虑以下情况.(Ⅰ) E≠0,（6）将在R0中求解，即Ψ（z）在无穷远处有偶数阶K=0的情况.设Ψ（z）在L所剖开的区域里有N（N为非负整数）个具有奇数阶数的零点c1,…,cN，这里c1,…,cN及N是可以任意选取的.此时又分以下子情况：(ⅰ)若N为偶数，即N=2ma. m=0，则（6）的解为Ψ（z）=D2πi∫Ldττ-z±E
于是，由于φ（t）=Φ+（t）-Φ-（t）=Ψ+（t）-Ψ-（t），立即得到（1）的解φ（t）=±2DE+D2πi∫Ldττ-tb. m=1， 记∏（z）=（z-c1）…（z-cN），（6）有解Ψ（z）=∏（z）D2πi∫Ldτ∏（τ）（τ-z）
当且仅当满足条件
D2πi∫Ldτ∏（τ）=E或-E
此时φ（t）=D2∏（t）πi∫Ldτ∏（τ）（τ-t）c. m>1，只要下列可解条件 ∫Lτjdτ∏（τ）=0， j=0，…,m-2,
D2πi∫Lτm-1dτ∏（τ）=E或-E
都满足时，（6）有解
Ψ（z）=∏（z）D2πi∫Ldτ∏（τ）（τ-z）
因此便得φ（t）=D2∏（t）πi∫Ldτ∏（τ）（τ-t）(ⅱ)若N为奇数，即N=2m-1.（此时由于解的情况较复杂，这里仅给出其中的部分解，其完整解可参看文献［2］）.第3期戴济能，等：一种奇异积分方程的解法
武汉工程大学学报第30卷
a. m=1，设c∈L/{a,b}，记∏1（z）=（z-c）∏（z）=（z-c）（z-c1）…（z-cN）
当条件D2πi∫Ldτ∏1（τ）=E或-E
满足时，（6）有解
Ψ（z）=∏1（z）D2πi∫Ldτ∏1（τ）（τ-z）
此时φ（t）=D2∏1（t）πi∫Ldτ∏1（τ）（τ-t）b. m>1，条件∫Lτjdτ∏1（τ）=0j=0,…,m-2，及D2πi∫Lτm-1dτ∏1（τ）=E或-E
都满足时，（6）有解
Ψ（z）=∏1（z）D2πi∫Ldτ∏1（τ）（τ-z）
这时φ（t）=D2∏1（t）πi∫Ldτ∏1（τ）（τ-t）（Ⅱ）E=0，这时（6）应该在R-1中求解，即Ψ（z）在无穷远处应有奇数阶K=-1或者有偶数阶（至多为）K=-2，此时解的情讨论类似于（Ⅰ），为了篇幅的需要将其省略.