《武汉工程大学学报》  2009年05期 29-32   出版日期：2009-05-28   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

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基于无网格方法的钢结构构件优化模拟分析


0引言钢结构构件拓扑优化的目的是要寻求钢结构的某种布局，使其能够在满足一切有关应力、位移等约束条件的情况下将外荷载传递到支座，并让某种性能达到最优［1］.由于拓扑优化能够带来更大的优化效益，目前已成为结构优化领域内的一个热点.结构拓扑优化设计是继结构的尺寸优化设计和形状优化设计以后，在结构优化领域出现的一种富有挑战性的研究方向.在结构优化设计中，有限元方法（FEM）是一种应用最为广泛的结构分析模拟技术.然而，由于FEM本身的特点，使它在结构优化设计中的应用仍然面临着一些困难与挑战，如：计算获得的应力场是不光滑的； 在基于FEM的结构优化设计过程中不可避免的需要大量的网格重新划分工作等容易导致整个优化过程的不稳定［2］.作为一种不依赖网格的数值方法，无网格方法在结构优化设计中的应用研究受到了越来越广泛的关注.无网格方法采用的是完全不同于有限元方法的形状函数生成技术，它仅仅采用基于点的近似，而不需要节点的连接信息，避免了烦琐的单元网格生成［3］.本文对基于无网格再生核质点法的钢结构构件拓扑优化进行了研究探索.并通过几个算例证明了在无网格再生核质点法框架下进行钢结构构件拓扑优化设计分析是可行的.1钢结构构件拓扑优化的数学模型在进行钢结构构件拓扑优化设计时，其初始设计区域本文采用基结构法进行描述.所谓基结构法，就是把给定的初始设计区域离散成适当的，足够多得知设计区域，形成由若干子设计区域构成的基结构， 然后再按某种方法和规则从这个基结构中删除某些单元，用保留下来的单元描述钢结构的最优拓扑［4］.对于刚性设计问题，首先利用基结构法确定设计区域及设计变量Eijkl（x）对于指定设计区域Ω，弹性体的内力虚功为：a（u，v）=∫ΩEijkl（x）εij（u）εkl（v）dΩ
其中，u表示位移，v表示虚位移，线应变为：εij（u）=12uixj+uixi
载荷的线性形式（外力势能）：l（u）=∫ΩfudΩ+∫Γtuds
f为体力，t为边界Γ的力向量.由虚功原理可知，对任意弹性体有：a（u，v）=l（u）研究认为变形能最小结构就是拓扑最优结构.所以这里选取钢结构构件的变形能最小也就是柔度最小作为目标函数，这钢结构构件拓扑优化设计的数学模表达式为：minu∈U（E）l（u）s.t. a（u，v）=l（v）
v∈U，
E∈Ead
其中U为可能的位移场空间，E为设计变量，Ead为弹性模量的集合.在钢结构构件拓扑优化中，对参数E的不同定义导致不同的拓扑优化设计方法.钢结构构件拓扑优化方法中最常用的是均匀化方法（Homogenization Method）和密度法（Density Method）［5］.它们都是以材料弹性张量作为描述钢结构形式的优化设计方法.本文将采用密度法来进行连续体结构的拓扑优化设计.钢结构构件的拓扑优化设计依据本文采用的方法可以得到如下数学模型：Eijkl=χ（x）E0ijkl，
χ（x）=1x∈Ωmat
0x∈Ω/Ωmat（1）∫Ωχ（x）dΩ=Vol（Ωmat）≤V
这里E0ijkl是所选钢材的弹性模量，区域Ωmat表示的是材料区，V为设计区域Ω所占的体积，不等式表示对材料用量的一个约束.这是一个典型的离散变量优化问题， 由于数学模型中目标函数与约束函数的不连续性，使得优化问题成为不可微的优化模型.常用于连续变量的优化算法很难应用.为了克服离散变量优化模型的求解困难，常将离散变量的优化问题松弛为一个连续变量的优化问题，用连续设计变量的优化模型代替原来离散变量的设计模型.具体到本文的钢结构构件拓扑优化中，就是通过引入连续变量η（x）以及惩罚因子p，把式（1）中的离散变量χ（x）变为连续变量η（x），则式（1）所示的优化模型可转化为连续变量的优化模型：Eijkl（x）=η（x）E0ijkl，0<η（x）≤1这样连续设计变量可以取0到1之间的中间密度值.这种结构在现实中也是不存在的.为了解决这一问题， 在此采用势阱函数W（potentialwell function），来抑制这种结构的产生.势阱函数W的表达式如下［6］：第5期赵群：基于无网格方法的钢结构构件优化模拟分析
武汉工程大学学报第31卷
W（ρ）=ρ2（1-ρ）2
函数特性如图1.图1势阱函数特性，0≤ρ≤1（单位：无量纲）
Fig.1Characteristics of Potentialwell Function，0≤ρ≤1引入势阱函数，把η（x）看成某高斯积分点所表征的面积处的相对密度，并ρ（x）代替.以无网格再生核质点法作为结构相应分析方法.采用基于背景网格的高斯积分作为数值积分方法，以每个高斯积分点上的相对密度作为设计变量，优化问题的连续形式数学模型表达式为［7］：
minu∈U（ρ）L（ρ，u）=l（u）+α∫ΩW（ρ）dxα>0
s.tl（u）=FTu
K（ρ）u=F
Eijkl（xi）=ρE0ijkl，0<ρ≤1.
mass=∑Ngpi=1siρi≤V，0<ρi≤1.（2）
其中，式K（ρ）u=F是由无网格再生核质点法形状函数离散得到的控制方程.2优化方法和灵敏度分析对于钢结构构件拓扑优化问题，一般有两类优化算法用来求解带约束的非线性优化问题.一类常见的优化算法是优化准则法（OC）；另一类是基于数学规划的优化算法.优化准则法主要基于一种启发式的显式的变量更新方案来更新设计变量，它对大量设计变量的和少量约束的问题具有较高的优化效率，但对于多约束问题，由于依次引入相应约束的Lagrange乘子，每个Lagrange乘子要采用不同的准则，此时优化的求解效率将大大降低.OC方法是不像数学规划类的方法那样直接优化目标函数，而是基于所谓的KKT条件构造一系列优化结构应满足的准则.基于数学规划的优化算法，主要有序列线性规划（SLP），序列二次规划（SQP），序列凸规划（SCP），移动渐近线法（MMA）等［8］，本文采用SQP来处理优化问题.基于梯度优化设计方法的关键在于求解响应值在某点处的梯度方向，即在该点处的灵敏度.可以从无网格法得到离散的无网格再生核质点法控制方程［8］：Kd=F（3）
这里d是节点未知向量，而不是位移向量，其中K和F由下式定义：K=K+Kα
F=F+Fα
其中，K，Kα，F，Fα可由式Kij=∫ΩBTiDBjdΩ，
Kαij=α∫ΓuΦTiSΦjdΓ，
Fi=∫ΩΦTibdΩ+∫ΓtΦTitdΓ 和Fαi=α∫ΓuΦTiSudΓ来表示.当作如下定义：K=KT
u=Φd
T=Φ-1
式（3）可以写成：Ku=F（4）
其中，Φ是形状函数矩阵.可以采用直接微分法来求得位移的灵敏度，式（4）两边对设计变量ρi求导，可得：Kuρi+Kρiu=Fρi
这里，F是一个独立变量，即Fρi=0.所以可以得到位移的灵敏度：uρi=-（K）-1Kρiu
其中，矩阵K的灵敏度可以由（5）式得到：Kρi=（K+Kα）Tρi=pρp-1KeiT（5）
这里Kei是一个单元刚度矩阵.从式（2）可以得到目标函数中的柔度表达式l（u）=FTu，我们可以得到柔度的灵敏度：lρi=FTuρi=-FT（K）-1Kρiu
=-pρp-1iFTΦK-1Keid
以及目标函数中的势阱函数的灵敏度：Wρi=αρi（1-ρi）（1-2ρi）
约束函数的灵敏度：massρi=∑Ngpi=1siρiρi=si
这里，si是第i个高斯积分点所表征区域的面积.3数值算例3.1算例一如图2为初始设计区域，一个左端固定的悬臂钢梁，长20 m，宽10 m，弹性模量E0=206 000 MPa，泊松比ν=0.3，集中荷载F=1 000 N.体积约束为30%.如图3所示，用861个点来离散初始设计区域进行RKPM分析.采用40×20个背景网格来进行数值积分，每个积分网格里有4个积分点，共有3200个设计变量.图2初始设计区域
Fig.2The initial design region图3初始设计节点分布
Fig.3The initial node distribution经过40步迭代优化收敛，所得最优钢结构构件拓扑形式如图4所示，这里由高斯积分点来表征材料的分布.图5为目标函数的收敛曲线.图4最优结构拓扑形式
Fig.4Topological structure of the optimal form compliance history图5目标函数收敛曲线（单位：无量纲）
Fig.5Convergence curve of the objective function3.2算例二初始设计区域如图6所示，一个两端铰支的简支钢梁，长是20 m，宽是10 m，弹性模量E0=20 600 MPa，泊松比ν=0.3，集中荷载F=1 000 N.体积约束为30%.我们还是用861个点来离散初始设计区域.采用40×20个背景网格来进行数值积分，每个积分网格里有4个积分点，共有3200个设计变量.经过35步迭代后，得到如图7所示的最优结构拓扑形式，图8为目标函数的收敛曲线.图6初始设计区域
Fig.6The initial design region图7最优结构拓扑形式
Fig.7Topological structure of the optimal form图8目标函数收敛曲线（单位：无量纲）
Fig.8Convergence curve of the objective function通过对上述两个算例的对比分析，目标函数都具有较快的收敛性，收敛速度的优势对进一步进行复杂结构的优化比较重要［8］.基于无网格的方法避免了网格的不断生成以及畸变等引起的构件优化过程中出错以致于无法进行.4结语本文成功地将无网格方法应用于基于势阱函数模型的拓扑优化问题.并在无网格法框架下进行了设计灵敏度分析.并通过算例对钢结构构件的模拟分析计算， 证实了将无网格方法应用于钢结构构件的拓扑优化领域的可行性.