《武汉工程大学学报》 2009年09期
84-85
出版日期：2009-09-28
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
数列组的齐次线性相关性
1定义定义1［12］ 如果按某一法则对每一个n∈N+都对应着一个确定的实数xn，这些实数按照下标从小到大排列得到一个序列x1，x2，…，xn，…
叫做数列，简记为｛xn｝.定义2有限个数列{x1n},{x2n},…,{xmn}称为一个数列组.定义3给定数列组A：{x1n},{x2n},…,{xmn}，对任何一组实数k1,k2,…,km，得到数列{k1x1n+k2x2n+…+kmxmn}
简记为k1x1n+k2x2n+…+kmxmn
称为数列组A的一个齐次线性组合数列，简称为齐次线性组合，其中k1,k2，…,km称为这个齐次线性组合的系数.定义4如果数列{yn}为数列组A：{x1n},{x2n},…,{xmn}的一个齐次线性组合，即存在一组实数k1,k2,…,km，使得yn=k1x1n+k2x2n+…+kmxmn
则称数列{yn}可以由数列组A齐次线性表出（或齐次线性表示）.定义5设A：{x1n},{x2n},…,{xmn}为一数列组，如果存在一组不全为零的实数k1,k2，…,km，使得k1x1n+k2x2n+…+kmxmn≡0
则称这数列A齐次线性相关，否则称数列A齐次线性无关.显然，（1）如果数列A中含有数列{0}，即数列中的每一项都等于常数0，数列组A一定齐次线性相关.（2）数列A齐次线性无关的充分必要条件为：如果存在一组数k1,k2,…,km，使得k1x1n+k2x2n+…+kmxmn≡0
则k1,k2，…,km一定全为零，即k1=k2=…=km=0.定义6 如果数列A：{x1n},{x2n},…,{xmn}中，存在r(0≤r≤m)个数列{xi1n},{xi2n,…,{xirn}}满足：（1）{xi1n},{xi2n},…,{xirn}齐次线性无关；（2）数列A中的任何一个数列都可以由{xi1n},{xi2n}，…,{xirn}齐次线性表出，则称这r个数列所构成的数列组{xi1n},{xi2n},…,{xirn}为数列组A的一个极大齐次线性无关组，其中r称为数列组的秩，记作R(A)，即R(A)=r.定义7设A：{x1n},{x2n}，…,{xmn}，B：{y1n},{y2n}，…，{ysn}为两个数列组，如果数列组B中的任一数列都可以由数列组A齐次线性表出，则称数列组B可以由数列组A齐次线性表出.定义8设A：{x1n},{x2n},…,{xmn}，B：{y1n},{y2n}，…，{YSN}为两个数列组，如果数列组A与B可以相互齐次线性表出，则称数列组A与B齐次等价.2定理定理1数列组A：{x1n},{x2n},…,{xmn}齐次线性相关的充分必要条件为数列组A中至少有一个数列可以由其余的数列所构成的数列组齐次线性表出.证明（充分性）如果数列A中有某个数列，比如{xmn}可以由其余的数列齐次线性表出xmn=k1x1n+k2x2n+…+km-1xm-1,n
则k1x1n+k2x2n+…+km-1xm-1,n-xmn=0
即数列组A线性相关.（必要性）如果数列组A线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，不妨设km≠0，使得k1x1n+k2x2n+…+kmxmn≡0
则xmn=-k1kmx1n-k2kmx2n-…-km-1kmxm-1,n
即数列{xmn}可以由其余的数列{x1n},{x2n},…,{xm-1.n}齐次线性表出.定理2数列组A：{x1n},{x2n},…,{xmn}齐次线性相关的充分必要条件为数列组A的秩小于，即R(A)<m.证明充分性显然，下证必要性.设数列组A：{x1n},{x2n}，…,{xmn}齐次线性相关，即存在一组不全为零的数k1,k2，…,km，不妨设km≠0，使得k1x1n+k2x2n+…+kmxmn≡0
则xmn=-k1kmx1n-k2kmx2n-…-km-1kmxm-1,n
即数列{xmn}可以由其余的数列{x1n},{x2n}，…，{xm-1,n}齐次线性表出.而其余的数列当然可以由其自身齐次线性表出，因此，由定义数列组A的秩R(A)<m.推论数列组A：{x1n},{x2n},…，{xmn}齐次线性无关的充分必要条件为它的秩R(A)=m.定理3数列组A：{x1n},{x2n}，…，{xmn}与其任一个极大齐次线性无关组齐次等价.证明不妨设A0：{x1n}，{x2n}，…，{xrn}为其一个齐次极大线性无关组，显然，数列组A0可以由数列组A齐次线性表出，反过来，由定义6知，数列组A可以由A0齐次线性表出，所以A与A0齐次等价，即数列组A与其一个齐次极大线性无关组等价.第9期杨建华：数列组的齐次线性相关性
武汉工程大学学报第31卷
定理4数列组B：{y1n}，{y2n}，…，{ysn}可以由数列组A：{x1n},{x2n},…，{xmn}齐次线性表出的充分必要条件是A的秩等于由A组和B组所构成的新的数列组C：{x1n},{x2n},…,{xmn}{y1n},{y2n},…,{ysn}的秩，即R(A)=R(C)=R(A,B)证明设A0：{xi1n},{xi2,n},…,{xirn}为数列组A的一个极大齐次线性无关组.充分性：由R(A)=R(C)=R(A,B)知，A0也为C的一个极大齐次线性无关组，所以，C中的任一数列都可以由A0齐次线性表出，由此可知数列组B中的任一数列都可以由A0齐次线性表出，进而可以由数列组A齐次线性表出.必要性：设数列组B可以由数列组A齐次线性表出，而数列组A可以由A0齐次线性表出，因此数列组C可以由A0齐次线性表出，所以，A0为数列组C的一个极大齐次线性无关组，所以C的秩等于数列组A的秩，即R(A)=R(C)=R(A,B).定理5如果数列组B：{y1n},{y2n},…,{ysn}可以有数列组A：{x1n},{x2n},…,{xmn}齐次线性表出，则数列组B的秩不超过数列组A的秩，即R(B)≤R(A).证明由定理4有R(A)=R(A,B)，而R(B)≤R(A,B)，所以R(B)≤R(A).定理6如果数列组A与数列组B齐次等价，则A的秩等于B的秩，即R(A)=R(B).证明由定理5及数列组齐次等价的定义即知结论成立.定理7齐次线性相关的两个数列的敛散性相同.3例题例1数列组A：{n},{2n},{3n}齐次线性相关，数列{n}为A一个极大齐次线性无关组，同样数列{2n}和{3n}也分别都是A的极大齐次线性无关组.例2证明数列组A：{n},{n2}齐次线性无关.证明如果存在一组数k1,k2，使得k1n+k2n2=0
则分别取n=1,n=2，得方程组k1+k2=0
2k1+4k2=0
其只有零解，k1=k2=0，所以数列组A齐次线性无关.例3数列组A：n2+1n,n2-1n线性无关，且都没有极限，但
n2+1n-n2-12=2n
有极限为0.