《武汉工程大学学报》  2010年03期 111-112   出版日期：2010-03-31   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

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n维正态各分量的线性组合服从正态分布的一个证明


1几个引理如果n维随机变量(x1,x2,…,xn)的密度函数为f(x1,x2,…,xn)=(2π)-n2|V|-12×
exp-12(X-μ)TV-1(X-μ),
则称(x1,x2,…,xn)服从n维正态分布［1］，记为X~Nn(μ,V).其中X=(x1,x2,…,xn)T,μ=(μ1,μ2,…,μn)T,
V=(cov(xi,xj))n×n=(σij)n×n＞0.引理1设X~Nn(μ,V),V>0.将矩阵剖分［2］
X=X(1)
X(2)rn-r,μ=μ(1)
μ(2)rn-r,V=V11V12
V21V22,
其中V11是r阶方阵. 如果V12=V21=0,则X(1)与X(2)相互独立，且X(i)~N(μ(i),Vii),i=1,2.证因V12=VT21=0,V>0,所以V-1=V-111
V-122,
f(x1,x2,…,xn)=(2π)-n2V11-12V22-12×
exp-12X(1)-μ(1)
X(2)-μ(2)TV-111
V-122X(1)-μ(1)
X(2)-μ(2)=
(2π)-r2|V11|-12×
exp-12(X(1)-μ(1))TV-111(X(1)-μ(1))×
(2π)-n-r2|V22|-12×
exp-12(X(2)-μ(2))TV-122(X(2)-μ(2))
上式等号右端第一个方括号内是r维正态分布的密度函数，即X(1)~Nr(μ(1),V11).同样有，X(2)~Nn-r(μ(2),V22).由于X的密度函数等于X(1)的密度函数与X(2)的密度函数的乘积，故X(1)与X(2)相互独立［3］.引理2设X~Nn(μ,V),V>0,A为n阶满秩矩阵，则Y=AX~Nn(Aμ,AVAT).证作满秩线性变换Y=AX,则Jacobi行列式(x1,x2,…,xn)(y1,y2,…,yn)=|A-1|≠0,
且|A-1|的绝对值=|A|2-12=|A||AT|-12.设Y的密度函数为g(y1,y2,…,yn),其分布函数
G(y)=P{Y<y}=
∫…∫Y<yg(y1,y2,…,yn)dy1…dyn.
根据随机变量函数的分布和重积分换元法，有
G(y)=P{Y<y}=P{AX<y}=
∫…∫AX<yf(x1,x2,…,xn)dx1…dxn=
∫…∫AX<y(2π)-n2|V|-12×
exp-12(X-μ)TV-1(X-μ)dx1…dxn
换元∫…∫Y<y(2π)-n2|AVAT|-12×
exp-12(Y-Aμ)T(AVAT)-1(Y-Aμ)×
dy1…dyn
所以几乎处处有g(y1,y2,…,yn)=(2π)-n2|AVAT|-12×
exp-12(Y-Aμ)T(AVAT)-1(Y-Aμ).
因此，Y~Nn(Aμ,AVAT)引理3设X~Nn(μ,V),V>0.将矩阵剖分X=X(1)
X(2)rn-r,μ=μ(1)
μ(2)rn-r,V=V11V12
V21V22，
其中V11是r阶方阵. 则X(1)~Nr(μ(1),V11).证与引理1比较，引理3少了条件V12=V21=0.因V>0,所以V11>0,V22>0,令C=Ir0
-V21V-111In-r,
显然|C|≠0,由引理2，Y=CX~Nn(Cμ,CVCT). 这里CX=X(1)
X(2)-V21V-111X(1),Cμ=μ(1)
μ(2)-V21V-111μ(1),CV=V110
0V22-V21V-111V12.
由引理1，X(1)~Nr(μ(1),V11).第3期熊德之：n维正态各分量的线性组合服从正态分布的一个证明
武汉工程大学学报第32卷
2定理及其证明定理设X~Nn(μ,V),V>0,A为r×n矩阵，R(A)=R,则Y=AX~Nr(Aμ,AVAT).证因A为r×n矩阵，R(A)=r,可将A补充n-r行［4］，使之成为满秩方阵P,于是由引理2，Y=PX~Nn(Pμ,PVPT),记 X=A
B，
则PX=AX
BXrn-r，Pμ=Aμ
Bμrn-r，PVPT=AVATAVBT
BVATBVBT，
根据引理3，知AX~Nr(Aμ，AVAT）.特别地，若A为非零行向量(k1,k2,…,kn)，这时R（A）=1，AX=∑ni=1kixi,Aμ=∑ni=1kiμi，
AVAT=∑ni=1∑nj=1kikjσij.故x1,x2,…,xn的线性组合∑ni=1kixi~N∑ni=1kiμi,∑ni=1∑nj=1kikjσij.