《武汉工程大学学报》 2010年05期
99-102
出版日期：2010-05-31
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
同时反演阻尼区域和系数的一种方法
引言声波的反散射理论是一个典型的数学物理反问题，它是利用外部的测量信息，探测介质的内部性质或者边界性质，而这些信息通常是不能直接测量的，由于声波反散射理论在雷达及地球物理勘探等领域的需要，对反散射理论及计算方法的研究有着广泛的应用前景.D.Colton,P.Monk和R.L.Ochs［13］分别用远场模式的完全与不完全数据进行了区域反演，David.Colton［4］中应用线性抽样方法进行了区域反演，在Pedro.Serranho［5］中应用杂交方法对阻尼边界进行了区域和阻尼系数的同时反演.本文研究声波阻尼反问题的区域和系数同时反演的反问题，即在阻尼系数和区域未知的情况下，利用远场模式的数据来同时反演阻尼区域和系数.本文给出了具体的计算方法，并给出了数值例子.本文考虑在均匀介质中传播的声波，此声波碰到一个无限长的柱体.设柱体的截面DR2母线平行于z轴，设入射波是平面波ui(x)=eikx·α,x∈R2其中k＞0是波数，α为一单位向量，入射波碰到柱体发生散射，记总体场为u=ui+us,us表示散射场，总体场满足阻尼边界条件.正散射问题是u∈C2(R2)\〖AKD-〗∩C(R)\\D满足:Δu+k2u=0inR2\〖AKD-〗(1)uv+ikλu=0onD（2）limr→∞rur-iku=0，r=｜x｜（3）其中v表示外法线方向，λ为声波阻尼系数，(3) 称为sommerfeld散射条件.若IM(λ),D∈C2,则问题(1)~(3)存在唯一解［6］.由文献［6］可知，散射波us有以下渐进性质：us(r,θ)=eikrrF(θ;k,α)+or-32(4)其中(r,θ)为x的极坐标，F称为散射波us的远场模式.本文考虑的反问题是给定F(θ;k,αn);其中θ∈［0,2π］,αn,n=1,2,3,…,N是N个不同的单位向量，利用这些数据来确定阻尼边界D和系数λ.1反演方法由Green公式与第一类零阶Hankel函数的渐进性质可得:
F(θ;k,α)=-eikπ8kπ∫Du(y,k,α)v(y)e-ikρcos(θ-φ)-
u(y,k,α)v(y)e-ikρcos(θ-φ)ds(y)(5)其中x=reiθ,y=reiφ,v表示D上的单位外法线方向.本文的方法基于Herglotz波函数理论［7］.一个函数v称为Herglotz波函数,如果:Δv+k2v=0inR2limx→∞1r∫∫｜x｜＜r｜v(x)｜2dx＜∞在极坐标(ρ,φ)下,Herglotz波函数有如下积分形式:v(ρ,φ,k)=∫2π0g(θ)eikρcos(θ-φ)dθ(6)其中g∈L2［0,2π］是Herglotz波函数的核, 由(2)和(5)得:
∫2π0F(θ;k,α)g(θ)dθ=-eikπ48kπ∫Du(y,k,α)v×
v(ρ,φ,k)-v(ρ,φ,k)vu(y,k,α)ds(y)=
eikπ48kπ∫Du(y,k,α)(v(y)+ikλ)v(ρ,φ,k)ds(y)(7)定义集合:S=F(θ;k,αn)-F(θ;k,α1),n=1,2…其中F(θ;k,αn)是对应于入射波eikx·αn的远场模式.将S中的元素看成θ的函数,S是L2［0,2π］的子集,且L2［0,2π］=SpanSS⊥定理2.1［8］:设λ＞0,v是如下问题的解：Δv+k2v=0in D
v-ikλv=v-ikλH（2）0(kρ)on D(8)其中(ρ,φ)表示极坐标,H20是零阶第二类Hanker函数，则a. 如果v是Herglotz波函数,核为g, 则S⊥=Span{g}b. 如果v不是Herglotz波函数,核为g， 则S⊥=0因此有以下定理成立:定理2.2：设u是Helmholtz方程的解,D是有界的星形域,D∶ρ=ρ(φ),0≤φ≤2π,ρ∈C2,α［0,2π］,u∈C2,α［］,则对任意ε≥0,存在Herglotz波函数v, 核的支集含于［0,2π］使得maxx∈D｜u(x)-v(x)｜≤ε第5期王俊杰，等：同时反演阻尼区域和系数的一种方法
武汉工程大学学报第32卷
根据定理2.2,(8)的解可由Herglotz波函数逼近.再由定理2.1可知对应于入射波uin=eikx·αn的远场模式的集合聚集在超平面:(F,g)=(f1,g)周围,其中g是逼近(8)的解的Herglotz波函数的核,支集含于［0,2π］,(·,·)表示L2空间上的内积.于是反问题可归结为一个约束最优化问题.定义集合:U1(M)=g∈H1［0,2π］∶|g|H1≤MU2=ρ∈C1［0,2π］∶ρ是周期函数.
0≤a≤ρ≤b,max0≤φ≤2π｜ρ′｜≤c
U3=λ(φ)≤M1,｜λ(φ)-λ(ψ)｜≤M2｜φ-ψ｜其中M,M1,M2,a,b,c为常数.由嵌入定理U1(M)在C［0,2π］中紧，U2(M)在C［0,2π］中紧，并且由Arzela-Ascoli定理，U2(M)在C［0,2π］中紧，再由Tikhonov定理，U(M)=U1(M)×U2×U3在C［0,2π］×C［0,2π］×C［0,2π］中紧.以下给出(F1,g)的值，因为∫2π0F(θ;k,α)g(θ)dθ=
e-ik48kπ∫Du(y,k,α)v(y)+ikv(ρ,φ,k)ds(y)且文献［2］中∫Du(y,k,α)v(y)-ikH(2)0(kρ)ds(y)=-4iuin(0)=-4i再由v-ikλv(ρ,φ,k)=v-ikλH(2)0(kρ)得到： ∫2π0F1(θ;k,α)g(θ)dθ=-e-ik42kπ最终得到下面的最优化问题：μ(F,ρ,λ):=min(g,ρ,λ)∑Nn=1∫2π0F(θ;k,αn)×
g(θ)+e-ik42kπ2+∫2π0v-ikλ(φ)×
(v(ρ(φ),φ,k)-H(2)0(kρ(φ)))2dφ(9)其中v为(5)所定义的Herglotz波函数，由于λ＞0,所以内问题不存在任何特征值，因而在此只要求k＞0即可.2数值计算下面对前面的反演方法给出计算方法. 反问题的数据是一系列方向的平面波和所对应的远场模式，这些数据的产生是由解正问题所得.本文采用Nystrm方法解正问题.对于定解问题Δu+k2u=0in R2\〖AKD-〗(10)uv+ikλu=0on D(11)寻找如下单层位势的解：ua(x)=∫DΦ(x,y)φ(y)ds(y),x∈R2\〖AKD-〗其中Φ(x,y)=i4H(1)0(k｜x-y｜),x≠y.从而得到散射波的远场模式：Fa(α)=eik48kπ∫Dφ(y)eiky·αds(y)｜α｜=1对给定的波数k和［0,2π］上不同方向的N个入射平面波，用上面的方法得到的远场模式的逼近，将此数据作为原始数据来求反问题.记Fα为Fα(θ;,k,α)，用有限三角级数：Fα^(θ,k,α1)=∑n1j=-n1F1jeijθ，l=1,2,3,…,N逼近Fα(θ;k,α)，于是Flj=12π∫2π0Fα(θ,k,α1)e-ijθdθ其中：αl=cos2πlN,sin2πlN,l=1,2,3,…,N用三角级数逼近g,ρ,λ
gα(θ)=∑n1j=-n1g1eijθgj∈C
ρα(φ)=a0+∑n2j=1αj+cos(jφ)+bjsin(jφ),
aj,bj∈R
λα(φ)=a10+∑n3j=1α1j+cos(jφ)+b1jsin(jφ),
a1j,b1j∈R于是得到：∫2π0Fα(θ,k,α1)g(θ)dθ≈∫2π0F^α(θ,k,α1)g(θ)dθ=2π∑n1j=-n1Fljgj利用矩形公式积分，则（9） 离散为：
μ(F,ρ,λ):=min(g,ρ,λ)∈U(M)kπ2∑Nl=1｜∑n1j=-n12πFlj+
e-ik42kπ｜2+2πm1｜v(φp)+v1(φp)｜2其中：
v(φp)=2πm2∑m2p=1gα(θp)ikραρ2α+ρ′2αcos(θp-φq)-
ikλα(φp)eikρα(φp)cos(θp-φq)
v1(φq)=ikλα(φq)H21kρα(φq)+
kραρ2α+ρ′2αH21kρα(φq)其中φq=2πqm1,θq=2πpm2.反问题参数：n1=6,n2=6,n3=6,m1=m2=30,k=1.0.入射波数目N=16,远场模式数目n=36.图中实线表示边界ρ或系数λ，虚线表示反演的边界ρα或系数λα.考虑在均匀介质中传播的声波，此声波碰到一个无限长的柱体.设柱体的截面DR2母线平行于z轴，设入射波是平面波ui(x)=eikx·α,x∈R2其中k＞0是波数，α为一单位向量，入射波碰到柱体发生散射.在一些情况下我们需要知道柱体的截面形状和边界的性质，但是不能通过直接测量得到，可以通过测量到的散射波的信息得到即：通过远场模式反演区域形状和阻尼系数.例3.1精确的柱体截面形状:ρ=2+0.3×cos(3t),精确的阻尼系数λ=2+sin(t).反演区域
ρα(φ)=α0+∑n2j=1ajcos(jφ)+bjsin(jφ),
aj,bj∈R其中aj,bj见表1，反演阻尼系数
λα(φ)=a10+∑n3j=1a1jcos(jφ)+b1jsin(jφ),
a1j,b1j∈Ra1j,b1j见表1,反演结果见图1.
表1例3.1 的边界和阻尼系数同时反演的数值结果
Table 1Recovering numerical result of the region and impedance coefficient for example 3.1
iaibia1ib1i02.038405991.9999661310.05702740.000000281560.00040471.0001068120.052289710.0000009160020.00098930.002308130.254512980.0000005175970.008361160.002041140.01536430.0000005347250.01062710.0086490150.004923450.00001814870.00233530.002377460.030102940.0000000867660.000248280.0003258图1例3.1 的边界和阻尼系数同时反演的结果
Fig. 1Recovering result of the region and
impedance coefficient for example 3.1例3.2精确的柱体截面形状: 边界ρ=2+cos(t)sin(t),精确的阻尼系数λ=2+cos(t).反演区域
ρα(φ)=a0+∑n2j=1ajcos(jφ)+bjsin(jφ),
aj,bj∈R,其中aj,bj见表2.反演阻尼系数
λα(φ)=a10+∑n3j=1a1jcos(jφ)+b1jsin(jφ),
a1j,b1j∈Ra1j,b1j见表2,反演结果见图2.
表2例3.2 的边界和阻尼系数同时反演的数值结果
Table 2Recovering numerical result of the region
and impedance coefficient for example 3.2
iaibia1ib1i02.013259631.999982910.005219290.0376729420.99961780.00020872520.006343880.4571081250.00180940.00056717630.0139631120.016703310.005741050.0017102340.00320060.001971010.057468510.0094817350.0000106450.0002170970.0001145870.0004904460.003201450.004943540.0002312190.000046053图2例3.2 的边界和阻尼系数同时反演的结果
Fig. 2Recovering result of the region and
impedance coefficient for example 3.2从图1和图2看出本文给出的同时反演阻尼系数和边界的反演方法的反演效果是比较好的.