《武汉工程大学学报》  2010年07期 94-98   出版日期：2010-07-31   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

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可变时延网络控制系统的建模和稳定性分析


0引言网络控制系统 (Networked Control Systems：NCS)是指通过实时通信网络形成的闭环反馈控制系统［12］.NCS与传统的控制系统相比，具有控制系统配置灵活性强和可远程监测、系统成本低和高可靠性、安装与维护简便、信息资源能共享等诸多优点.但是由于通信网络协议的时分复用和网络带宽、承载能力和服务能力的限制，使得信息不可避免出现网络诱导时延和丢包等现象发生，这给控制系统的稳定性和控制性能带来了不利影响，甚至可能导致整个系统不稳定［3］.当前现场总线控制系统(FCS)的出现已经给工业控制领域带来了深层次的革命，而以工业以太网为基础的网络控制系统由于具有开放性，低成本、高速率、便于和Internet集成等特点成为控制网络发展的趋势，但工业以太网时延的不确定性和时变性也阻碍了其在工业控制领域的快速发展.因此对网络控制系统中存在数据时延的稳定性分析及其控制问题的研究具有重要的理论和实际意义.1网络控制系统时延模型对网络时延模型主要从时延的确定性和随机性两方面进行分析.引起网络时延因素主要有两部分，网络传输过程和数据处理过程，来源于计算延时，信息的编解码，A/D与D/A变换，通信协议处理以及网络传输延时等.时延具有随机性的特点，采用确定性时延方法来设计 NCS的控制器时，在控制器和执行器中设置接收缓冲区，将变化的信号传输延迟转化为固定的最大传输延迟.将随机时变时延转化为确定性时延，然后针对相应的具有确定性时延的NCS来设计控制器.考虑如图1所示的网络控制系统，包含了一个传感器和一个执行器的情况，对于具有多控制环的节点，可以转化为具有单控制环的多个节点之和，控制系统的反馈信号和控制信号都经通信网络传输， 其中0τsc和τca分别表示传感器到控制器之间的网络时延和控制器到执行器之间的网络时延，τc表示控制器的计算时延.设网络控制系统满足以下假设条件：（1）无数据包丢失和时序错乱，不考虑噪声干扰情况（2）传感器为时间驱动，控制器和执行器为事件驱动.图1网络控制系统结构图
Fig.1The structure of networked control system设连续被控对象和控制器的状态方程分别描述为p=Apxp(t)+Bpup(t)
yp(t)=Cpxp(t)(1)c=Acxc(t)+Bcuc(t)
yc(t)=Ccxc(t-τc)+Dcuc(t-τc)(2)其中xp∈Rn,up∈Rm,yp∈Rp分别表示被控对象的状态向量，输入向量和输出向量，xc∈Rn,uc∈Rm,yc∈Rp分别表示控制器的状态向量，输入向量和输出向量， 分别是控制回路中被控对象，传感器和执行器对应的维数，Ap,Bp,Cp和Ac,Bc,Cc,Dc是具有适当维数的已知实常系数系统矩阵.由于数据从被控对象传输到控制器和从控制器到被控对象都需要经过公共通信网络，从而网络的时延可以用下述关系式描述uc=yp(t-τsc）
up=yc(t-τca）(3)其中0≤τca≤τca,max，0≤τsc≤τsc,max, 0≤τc≤τc,max,τsc,max和τca,max分别是传感器到控制器、控制器到执行器之间和的最大网络时延.τc,max是控制器的最大计算时延，由方程(1)-(3)并定义x(t)=xTp(t)xTc(t)T为NCS的状态变量，则NCS的状态方程可表示为：(t)=Ac0
0Acx(t)+00
BcCp0
x(t-τsc)+0BpCc
00x(t-τca-τc)+
BpCpDc0
00x(t-τsc-τca-τc)(4)如果定义A0=Ac0
0Ac,A1=00
BcCp0,
A2=0BpCc
00,A3=BpCpDc0
000≤τ1=τsc≤τsc,max=τ1,max0≤τ2=τca≤τca,max=τ2,max0≤τ3=τsc+τca+τc≤τsc,max+τc,max=τ3,max考虑到实际上时延都是时变的，则(4)可变为(t)=∑3i=0Aix(t-τi(t)),t＞0
x(t)=(t),t∈［-,0］(5)这里x(t)∈Rn是新的系统状态向量，Ai是适当维数的实常系统矩阵，τi(t)为时变连续函数，且τ0≡0，0≤τi(t)≤hi≤,=maxτi,i(t)≤di＜1,i=0,1,2,3，其中是τi的上界，是-≤t≤0上的已知实值连续可微初始向量函数.2稳定性分析定理1若存在n×n正定对称矩阵P1,P2,P3,S1,Yi1,Yi2,Zi1,Zi2,Zi3＞0和Ri＞0,i=1,2,3满足如下线性矩阵不等式(LMI)：
Γ=ψPT0
A1-YT1PT0
A2-YT2PT0
A3-YT3
*-S1(1-d1)00
**-S2(1-d2)0
***-S3(1-d3)＜0(6)第7期田裕康,等：可变时延网络控制系统的建模和稳定性分析
武汉工程大学学报第32卷
并且RiYi
*Zi≥0,i=1,2,3(7)
其中Yi=Yi1Yi2,Zi=Zi1Zi2
*Zi3
i=1,2,3,P=P10
P2P3，ψ=PT0I
A0-I+0I
A0-ITP+
∑3i=1hiZi+∑3i=1Si0
0∑3i=1hiRi+
∑3i=1Yi
0+∑3i=1Yi
0T*代表矩阵块的转置部分（下同），则网络控制系统(5)渐进稳定.证明i(t)=y(t)令，由牛顿莱布尼兹公式x(t-τi)=x(t)-∫t-τi(s)ds和(5)得到0=-y(t)+∑3i=0Aix(t)-
∑3i=1Ai∫t-τi(t)y(s)ds(8)
令E·i(t)=(t)
0=0I
∑3i=0Ai-I
(t)-∑3i=10
Ai∫t-τi(t)y(s)ds(9)
其中(t)=x(t)y(t)T，E=diagI,0，构造如下LyapunovKrasovskii函数：V(t)=T(t)EP(t)+V2+V3(10)V2=∑3i=1∫0-hi∫t+θyT(s)Riy(s)dsdθ(11)V3=∑3i=1∫t-τi(t)xT(τ)Six(τ)dτ(12)显然EP=PTE≥0，注意到T(t)EP(t)=xT(t)P1x(t)，对(10)第一项沿系统的轨迹的求时间导数为
ddtT(t)EP(t)=
2xT(t)P1(t)=2T(t)PT(t)
0=2T(t)PT
y(t)
-y(t)+∑3i=0Aix(t)-∑3i=1Ai∫tl-τi(t)y(s)ds(13) 2(t)=∑3i=1yT(t)τiRiy(t)-
∑3i=1∫t-τi(t)y(s)Riy(s)ds(14)3(t)=∑3i=1xT(t)Six(t)-
(1-i(t))x(t-τi(t))Six(τi(t))≤
∑3i=1xT(t)Si(x)-(1-di)x(t-i(t))Six(i(t))(15)由(13)(15)可以求得dV(t)dt≤T(t)(t)-∑3i=1(1-di)xT
(t-τi)Six(t-τi)+∫t-hiyT(τ)Riy(τ)dτ-ηi(16)
其中PT0I
∑2i=0Ai-I+
0∑2i=0ATi
I-IP+∑2i=1Si0
0∑2i=1hiRiηi(t)≡-2∫t-τiT(t)PT0
Aiy(s)ds根据文献［5］（Moon不等式），对于任意a∈Rn,b∈R2n,N∈2n×2n,R∈Rn×n,Y∈R2n×2n,Z∈Rn×n，有-2bTNa≤a
bTRY-NT
YT-NZa
b
其中Ry
YTZ≥0令N=Ni=PT0
Ai,R=Ri,Z=Zi,Y=Yi,a=y(s)和b=(t)，可以得到ηi(t)≤∫t-τiyT(s)T(t)
RiYi-0ATiP
YTi-P0
AZi
y(s)
(t)ds=∫t-τiyT(s)Riy(s)ds+
2∫t-τiy(s)(Yi-0ATiP)
(t)ds+∫t-τi(t)Zi(t)ds
=∫t-τiyT(s)Riy(s)ds+2∫t-τi(s)
(Yi-0ATiP)(t)ds+τix(t)
Zix(t)≤∫t-τiyT(t)Riy(s)ds+
2xT(t)(Yi-0ATiP)(t)-2xT(t-τi)
(Yi-0ATiP)(t)+hi(t)TZi(t)(17)将(17)代入(16)得到dV(t)dt≤ξT(t)Γξ(t)
其中
ξT(t)=xT(t)yT(t)xT(t-τ1)xT(t-τ2)xT(t-τ3)T，Γ1=+∑3i=1hiZi+I
0(Yi-0AiP)+(Yi-P0
Ai)I0PT0
A1-YT1PT0
A2-YT2PT0
A3-YT3
*-S1(1-d1)00
**-S2(1-d2)0
***-S3(1-d3)(18)应用Schur补定理［4］，并展开Γ1，则LMI(6)等价于Γ1＜0，因此，由LyapunovKrasovskii稳定性理论，如果LMI(6)成立，则对任意ξ(t)≠0都有＜0，因此网络控制系统（5）渐进稳定.证毕.说明：定理1给出了不确定时变时延网络控制系统鲁棒渐进稳定条件，其归结于LMI是否有解，不等式是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，可以利用MATLAB LMI工具箱方便地进行求解.3实例仿真考虑如式(5)的网络控制系统，其状态方程为(t)=A0x(t)+A1x(t-τsint).其参数为A0=-2.10
00.91,A1=-1.10
-1.1-1.0根据上述定理，并应用MATLAB LMI工具箱进行求解，可以求得保证系统渐进稳定最大允许网络诱导时延(MADB)分别为：di=0时，=4.475；di=0.5时，=3.687；di=0.9时，=0.954 6，当=3.687时，LMI式(6)和式(7)的解为P1=235.013 944.103 2
44.103 251.396 5P2=158.453 626.398 7
26.398 720.985 6P3=233.791 0-16.276 0
-16.276 068.874 1S1=32.932 312.363 6
12.363 656.895 6S2=352.267 6-3.571 0
-3.571 0241.215 8Y1=12.561 2-4.291 6
-4.296 125.568 4Y2=58.987 715.487 1
15.487 1145.214 5R1=251.336 554.748 4
54.748 4125.256 3R2=65.812 22.506 5
2.506 598.965 0Y1=80.263 252.905 6
52.905 6184.698 7Y2=7.903 811.423 5
11.423 532.511 4Z1=87.985 415.658 4
15.658 4169.201 6Z2=258.112 587.561 4
87.561 4351.564 2hi=15.263 8,h2=17.685 7系统在该时延下的状态状态响应曲线如图2所示，由图（2）可见该时延下系统是渐进稳定的.图2网络控制系统的状态响应图
Fig.2State response of networked control system4结语针对实际NCS中普遍存在的时变时延，以上讨论了一类可变时延的NCS的稳定性问题，利用Lyapunov稳定性理论，给出了基于LMI形式的与时延有关的渐进稳定判据，并通过实例仿真证明了结论的可行性.本方法可应用于工业以太网等网络控制系统的建模和稳定性分析，在实际中把本文的研究和工业以太网网络调度算法结合，从而进一步减小网络时延，是今后研究的方向.