《武汉工程大学学报》 2011年11期
62-65
出版日期：2011-11-30
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
基于秩亏损的近场源定位快速算法
0引言空间谱估计是近三十年来发展起来的新兴信号处理理论，它在雷达、通信、声纳等领域有着众多的应用，而空间信号源的波达方向估计是其研究的一个重要方向.在近场源参数估计中，许多研究方法相继被提出，如最大似然方法［1］、二维MUSIC方法［2］、一维MUSIC方法［3］等，最大似然方法的估计性能最好，但是需要进行多维谱峰搜索，计算复杂度很高；二维MUSIC方法的估计性能比较高，但是需要搜索谱峰和参数匹配；一维MUSIC方法虽然可以完成参数的自动配对，但仍需要一维搜索，计算复杂度较高.现有的方法中，ESPRITlike方法［4］，二级MUSIC［5］和加权线性预测方法(WLP）［6］等能够直接给出参数的闭式解且精度比较高，但是ESPRITlike和二级MUSIC［5］需要构造高阶累积量，其计算复杂度仍然很高；WLP算法需额外的参数配对，在信源参数比较接近时可能会配对失败.文献［7］提出了一种利用对称阵元结构的GESRPIT参数估计方法，有着较好的估计性能，但是需要2次一维参数搜索，计算复杂度很高，并且构造的谱函数在低信噪比下会出现谱峰数小于真实信号个数或伪峰过高而导致角度搜索失败的问题，从而导致整个参数估计的性能下降.文献［8］针对文献［7］中的角度搜索给出了一种闭式解，并且提出了利用聚焦方法来估计信号源的角度，但是在距离的估计中却仍然需要搜索计算，另外，聚焦方法需要利用基于波束形成的方法进行预估计，一定程度上限制了其实际应用.文献［910］分别提出了一种关于频率、角度和距离的联合估计新算法，文献［9］无需参数匹配，对角度和频率的估计比较好，而且还可以很好的分辨多个空间分布很近的信号源，但是其对距离的估计精度较差，文献［10］提出了一种基于平行因子分析的算法，该算法参数自动匹配，计算量小，但是在低信噪比下性能损失严重，无法解决弱信号环境下的信源定位问题.针对以上参数化估计［11］的情况，改进了文献［78］中提出的基于GESPRIT技术的近场源定位方法，给出了一种适用于高斯白噪声环境下的近场源参数估计快速算法，该方法无需搜索计算因而计算量低，仿真结果表明在低信噪比情况下也能给出很好的估计性能,且估计出的二维参数能自动匹配.1信号接收模型和子空间特征分解考虑近场接收信号情况，如图1所示，K个非相干信号入射到N(奇数）个阵元组成的均匀线阵，阵元间距d≤λ4，λ为载波的波长.通常，阵列信号矢量可以表示为：图1近场源信号接收模型
Fig.1Received signal model for nearfield sourceX(t)=A(θ)s(t)+n(t)(1）
式(1)中，方向矩阵A=［a(θ1,r1),a(θ2,r2),…,a(θK，rK)］，a(θk,rk)是第k个信号源的导向矢量，a(θk,rk)=［e-j(2πdsinθkλ)(-M)+j(πd2cos2θkλrk)M2,…,e-j(2πdsinθkλ)m+j(πd2cos2θkλrk)m2,…,e-j(2πdsinθkλ)M+j(πd2cos2θkλrk)M2］T,k=1,…,K.s(t)=［s1(t),s2(t),…,sk(t)］T是信号的复包络矢量，噪声矢量n(t)=［n1(t),…,nN(t)］T.由式(1）得到阵列相关矩阵：Rxx=E［X(t)XH(t)］=ARssAH+σ2I(2）
式(2)中，Rss为信号相关矩阵，σ2为噪声功率，H表示共轭转置.由于假定K个信号不相干，故Rss是可逆的.对Rxx进行特征分解有：Rxx=Us∧sUHs+Un∧nUHn(3）
式(3)中，Us∈C(2M+1)×K张成了Rxx的信号子空间，对角矩阵∧s∈CK×K是对应Us的特征值.类似地，Un∈C(2M+1)×(2M+1-K)张成了Rxx的噪声子空间，对角矩阵∧n∈C(2M+1-K)×(2M+1-K)是对应Un的特征值.2近场源角度估计文献［7］中提出了一种基于谱峰搜索的算法，但其计算复杂度较高.为了减小计算复杂度，文献［8］中给出了一种基于对称阵元结构的RootMUSIC方法，这种基于秩亏损的方法最初在文献［12］中用于远场源参数估计.将信号子空间Us作如下划分后得到Us1和Us2.Us=Us1
后2M-L+1 行
=前2M-L+1 行
Us2(4）
式(4)中，L=K+1，…,N-1表示子阵中阵元的个数.由式(1）和式(3）可知，存在一个K×K的满秩矩阵G使得Us=AG成立.类似地，对应于第一个子阵和第二个子阵的Us1和Us2满足关系：Us1=A1G
Us2=A2G(5）
式(5)中，矩阵A1和A2分别是A的前L行和A的后L行.第11期汪海，等：基于秩亏损的近场源定位快速算法
武汉工程大学学报第33卷
根据阵元配置的对称结构有如下关系成立.A2=［D(θ1)(Ja1(θ1,r1)),…,D(θK)(Ja1(θK,rK))］(6）这里A1为A1=［a1(θ1,r1),…,a1(θK,rK)］(7）式(7)中，D(θk)=diag［e-j(4πd/λ)(M-L+1)sinθk,…,e-j(4πd/λ)Msinθk］
a1(θk,rk)=ej((2πd/λ)sinθk)M+j((πd2/(λrk))cos2θkM2
ej((2πd/λ)sinθk)(M-L+1)+j((πd2/(λrk))cos2θk(M-L+1)2根据广义的ESPRIT方法［3］，引进一个对角矩阵:ψ(θ)=diag［e-j(4πd/λ)(M-L+1)sinθ,…,e-j(4πd/λ)Msinθ］(8）定义矩阵M=Us2-ψ(θ)(JUs1)Us2-ψ(θ)(JUs1)=［(D(θ1)-ψ(θ))(Ja1(θ1,r1)),…,(D(θk)-ψ(θ))(Ja1(θk,rk)),…,(D(θk)-ψ(θ))(Ja1(θk,rk))］G(9）当θ=θk时,M的第k列将会变成0，这意味着矩阵M的秩等于K-1.J是交换矩阵，其副对角线上的元素全为1，而其它位置上的元素均为0.考虑到M的秩亏损特性和Ψ(θ)中幂的线性变化.令z=e-j(4πd/λ)sinθk，式(8）变为：ψ(z)=diag［zM-L+1,…,zM］(10）从上面的分析可以构造出方程det［WHUs2-WHΨ(z)(JUs1)］=0(11）
方程式(11)的根中包含真实信号的角度信息.这里W∈C(2M+1)×K是任意的列满秩矩阵.式(11）有2(L-1)个根，其模最靠近单位圆的K个根α1,α2,…,αK对应K个信号源的角度θ1,θ2,…,θK.于是k=arcsin(-λ4πdarg(αk)),k=1,2,…,K(12）3近场源距离估计关于距离估计，文献［78］都给出了一种基于谱峰搜索的估计方法.这里，作者给出一种基于秩亏损的闭式参数估计方法.考察A1和A2的结构，有A2=［Φ(θ1,r1)a1(θ1,r1),…,Φ(θK,rK)×a1(θK,rK)］(13）
式(13)中Φ(θk,rk)=C(θk)B(θk,rk)C(θk)=diag［e-j(N-L)(2πd/λ)sinθk,…,e-j(N-L)(2πd/λ)sinθk］B(θk,rk)=diag［e-j(N-L)(L-1)πd2λrkcos2θk,…,e-j［(N-L)(L-1)-2n(N-L)］πd2λrkcos2θk,…,ej(N-L)(L-1)πd2λrkcos2θk］,n=0,1,…,L-1
那么矩阵
A2G-C(k)B(θk,r)A1G=Us2-C(k)B(θk,r)Us1(14）
在r=rk时的第k列会变成0.那么利用秩亏损的方法，令pk=e-jπd2λrcos2θk，则B(pk)=diag［p(N-L)(L-1)k,p(N-L)(L-1)-2(N-L)k,…,p-(N-L)(L-1)k］(15）由于pk的幂是线性的，于是有det［WHUs2-WHC(k)B(pk)Us1］=0(16）
式(16)中k是式(12）中的估计结果.易知式(16）有4(N-L)(L-1)-2个根，根β中幅度最靠近单位圆的一个根βk，对应于pk，k=-πd2cos2kλarg(βk),k=1,2,…,K(17）
从而完成参数自动匹配的估计.4仿真结果在仿真中，考虑两个不相干的信号源入射到N=9个阵元组成的对称均匀线阵，阵元间距为d=λ4，噪声为加性高斯白噪声(AWGN）.两个信号源的位置设定在近场区域，(r1,θ1)=(2.5λ,-4°)和(r2,θ2)=(4.5λ,5°).根据文献［13］，第k信号源和参考阵元的距离rk满足条件0.62(D3λ)12＜rk＜2D2λ时，在本文中即(1.75λ＜rk＜8λ），其中D为阵列的孔径.把阵列划分成两个子阵，每个子阵由L=8个阵元组成.为了比较本文算法与文献［7］与文献［9］中的算法在不同信噪比SNR(Signal to Noise Ratio)下的均方根误差(RMSE)，设定快拍数为400次，并进行了500次Monte Carlo实验.实验结果如图2~5所示.图2信源1角度的估计性能
Fig.2Angle estimation performance of sources 1注：图3信源2角度的估计性能
Fig.3Angle estimation performance of sources 2注：图4信源1距离的估计性能
Fig.4Range estimation performance of sources 1注：图5信源2距离的估计性能
Fig.5Range estimation performance of sources 2注：图2、3所示的是两信源角度估计的RMSE随SNR的变化.图4、5所示的是两信源距离估计的RMSE随SNR的变化，分别对应信源1和信源2.图2和图3中的CRB下界均由文献［9］给出.由图2、3可以看出，本文的算法性能在-10 dB到-5 dB时依然能保持良好，较文献［9］小5 dB左右.随着信噪比的增加，本文算法的优势越来越明显.SNR达到15 dB以后，文献［9］的性能已经没有明显的增加，这就是前面提到的参数估计的收敛性能较差.本文算法较文献［7］的算法，从-10 dB到15 dB二者参数估计的均方根误差都非常相近.这里说明一下，当SNR大于15 dB时，文献［7］的算法比本文的算法估计性能差，主要是由参数搜索的步长导致的.在仿真中，角度搜索步长设定为0.000 4π,距离搜索步长为0.000 2λ，从这二个数据中可以很明显的发现本文算法的优势，即计算复杂度低.为了定量的分析算法的运行时间，仿真用500次独立运行得出文献［7］算法的平均耗时为1 761.3 ms，而本文算法的平均耗时为5.3 ms，同样的文献［9］的平均耗时为1.8 ms.文献［7］中的算法虽然需要谱峰搜索，但是却可以保证其估计的精度，如果搜索步长足够小，其性能曲线和本文算法曲线是相同的.给出闭式解的参数估计大多是靠牺牲一部分估计性能而让计算复杂度降低，如文献［9］.而本文的算法能够在降低计算复杂度的同时又不损失估计的精度，这就是本文算法的优势所在.5结语基于接收阵列的对称结构，给出了一种快速的近场源参数估计新算法，无需额外的参数匹配.通过两次利用阵列导向矢量的结构和秩亏损的思想并基于GESPRIT方法估计出近场源的两维参数.与文献［7，8］中的算法相比，本文算法不需要谱峰搜索，能够直接给出闭式解，极大的减少了算法的计算复杂度.与文献［9］相比本文算法在没有严重损失计算复杂度的前提下得到很好的估计性能.参考文献：