《武汉工程大学学报》 2013年08期
81-86
出版日期：2013-08-31
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
计及次近邻原子作用平面正三角晶格振动的色散关系
0引言晶格振动色散关系是晶格动力学研究的重要内容之一，国内外固体物理教科书都会涉及，但是，几乎所有的教科书对晶格振动色散关系的讨论，都局限在一维晶格，并且往往只考虑最近邻原子相互作用\[12\]．对于二维或三维晶格振动色散关系的研究并不多见\[34\]，而且增加计及次近邻原子相互作用的讨论更是少见．因此，本研究选择平面正三角晶格为研究对象，利用晶格动力学理论推导了计及次近邻原子作用下晶格振动的色散关系，得到第一布里渊区中三种特殊对称方向的色散关系表达式和曲线，讨论了次近邻原子作用对平面正三角晶格振动色散关系的影响．1晶格振动模型与色散关系1.1晶格振动模型简单晶格振动的动力学矩阵Dαβ()的本征值方程为\[56\]：ω2eαkσ=∑βDαβ()eβkσ(1)其中ω=ω()是晶格振动频率，是波矢，eαkσ和eβkσ（σ=1,2,3）表示波矢量为k的格波的极化向量kσ（单位矢量）沿α和β方向的分量，这里α和β代表笛卡尔坐标系的坐标轴方向．极化向量及其分量满足如下正交性和完备性条件\[7\]：kσ·kσ=δσσ,∑σeαkσ·eβkσ=δαβ(2)在简谐近似和周期性边界条件下，动力学矩阵Dαβ()为\[5\|6\]：Dαβ()=1M∑N-1m=0αβ(0,m)e-i·(m)(3)式中αβ(0,m)是原子间的力常数，它表示第m号原子沿β方向发生单位位移后，导致第0号原子沿α方向受到一个作用力；M是原子的质量，第0号原子于坐标原点处，(m)是m号原子的位置矢量，N为原子个数；假设原子间相互作用力为两体中心弹性力，根据力常数αβ(0,m)的性质可以得到其表达式\[56\]：αβ(0,m)=-γmeα(m)eβ(m)(4)这里eα(m)表示沿着(m)方向的单位矢量的分量，γm表示第0号原子和第m号原子之间的弹性力耦合常数．当原子整体作刚性位移时，一个给定原子所受其它原子作用的合力应该为零，即\[56\]：∑N-1m=0αβ(0,m)=0(5)动力学矩阵Dαβ（）是一个（3×3）矩阵，代表力常数αβ(0,m)的傅里叶变换，它包含了晶格振动的有关信息．由于这个矩阵是一个厄米共轭矩阵［Dαβ（）=D*βα（）］，其特征值是实数，并且它给出了晶格振动的频谱［5，6］．因此，晶格振动的本征频率由（1）式的系数行列式构成的久期方程等于零决定：|Dαβ（）-ω2δαβ|=0（6）1.2色散关系 考虑平面正三角晶格结构如图1所示，任意两个最近邻原子的间距为a，由于正三角晶格结构的特点，这种晶格的每一个原胞中包含有一个原子．将第0号原子的最近邻原子编号为1、2、3、4、5、6，次近邻原子分别编号7、8、9、10、11、12，用γ1和γ2分别表示任意两个最近邻原子间和两个次近邻原子间的弹性力耦合常数．图1二维平面正三角晶格及其近邻原子的分布 Fig.1 Two\|dimensional equilateral trigonal lattice and distributing of neighbor atoms在图1中建立平面直角坐标系X\|O\|Y，则从第0号原子至其它12个原子之间的单位向量可以表示为：1=，2=12-32，3=-12-32，4=-，5=-12+32，6=12+32，7=32+12，8=32-12，9=-，10=-32-12，11=-32+12，12=第8期陈志远，等：计及次近邻原子作用平面正三角晶格振动的色散关系武汉工程大学学报第35卷由（4）式可以计算出相应的原子之间相互作用力常数αβ(0,m)如下：xx(0,1)=xx(0,4)=-γ1xx(0,2)=xx(0,3)=xx(0,5)=xx(0,6)=-γ1/4xy(0,1)=yx(0,1)=xy(0,4)=yx(0,4)=yy(0,1)=yy(0,4)=0xy(0,3)=xy(0,6)=yx(0,3)=yx(0,6)=-3γ1/4xy(0,2)=xy(0,5)=yx(0,2)=yx(0,5)=3γ1/4yy(0,2)=yy(0,3)=yy(0,5)=yy(0,6)=-3γ1/4xx(0,7)=xx(0,8)=xx(0,10)=xx(0,11)=-3γ2/4xx(0,9)=xx(0,12)=xy(0,9)=yx(0,9)=xy(0,12)=yx(0,12)=0xy(0,7)=xy(0,10)=yx(0,7)=yx(0,10)=-3γ2/4xy(0,8)=xy(0,11)=yx(0,8)=yx(0,11)=3γ2/4yy(0,7)=yy(0,8)=yy(0,10)=yy(0,11)=-γ2/4yy(0,9)=yy(0,12)=-γ2因为考虑到了次近邻原子的相互作用，所以对0号原子而言将同时受到最近邻和次近邻原子的作用．由（5）式的求和规律，可以得到相应的自身力常数为：xx(0,0)=3(γ1+γ2),xy(0,0)=yx(0,0)=0,yy(0,0)=3(γ1+γ2)于是由（3）式其中波矢在此二维三角晶格中为=x+y，可求解动力学矩阵Dαβ()的元素．Dxx()=1M［xx(0,0)+xx(0,1)e-ikxa+xx(0,2)e-i（kxa2-3kya2）+xx(0,3)ei（kxa2+3kya2）+xx(0,4)e-ikxa+xx(0,5)ei（kxa2-3kya2）+xx(0,6)e-i（kxa2-3kya2）+xx(0,7)e-i（3kxa2+3kya2）+xx(0,8)e-i（3kxa2-3kya2）+xx(0,9)ei3kya+xx(0,10)ei（3kxa2+3kya2）+xx(0,11)ei（3kxa2-3kya2）+xx(0,12)e-i3kya］Dxx()=γ1M［3-2cos(kxa)-cos(kxa2)·cos(3kya2)］+3γ2M［1-cos(3kxa2)cos(3kya2)］Dxy()=Dyx()=3γ1Msin(kxa2)sin(3kya2)+3γ2Msin(3kxa2)sin(3kya2)Dyy()=3γ1M［1-cos(kxa2)cos(3kya2)］+γ2M［3-2cos(3kya)-cos(3kxa2)cos(3kya2］由久期方程（6）式得：Dxx()-ω2Dxy()Dyx()Dyy()-ω2=0ω4-［Dxx()+Dyy()］ω2+Dxx()Dyy()-Dxy()Dyx()=0ω2=Dxx()+Dyy()±［Dxx()-Dyy()］2+4Dxy()Dyx()2 （7）将Dxx(),Dxy(),Dyx(),Dyy()的相应值代入上式中就可以得到色散关系．2分析与讨论 由于动力学矩阵是倒易点阵的周期函数，因此晶格振动的频率也是倒易点阵的周期函数，只需要在第一布里渊区中讨论格波色散关系．平面正三角晶格第一布里渊区如下图2所示，它是一个正六角形的区域，在此范围内存在几个高对称点：Γ(0,0)，M(0,2π/3a)，K(2π/3a,2π/3a)．由于色散曲线具有k=0时ω=0特征的格波称为声学模；反之，当k=0时ω≠0的格波为光学模［7］．因此，容易证明本研究的平面正三角晶格中全部格波都属于声学模．图2二维平面正三角晶格的第一布里渊区Fig.2 First Brillouin Zone of two\|dimensional equilateral trigonal lattice2.1第一布里渊区中沿三种特殊对称方向的色散关系（Ⅰ）沿Γ\|M方向上： 由于kx=0,ky∈［0,2π/3a］，则有Dxy（）=Dyx（）=0Dxx（）=γ1M［1-cos(3kya2］+3γ2M［1-cos(3kya2)］Dyy()=3γ1M［1-cos(3kya2］+γ2M［3-2cos(3kya)-cos(3kya2)］将它们代入（7）式得：ω21=γ1M［1-cos(3kya2)］+3γ2M［1-cos(3kya)2)］=ω2T（8）ω22=3γ1M［1-cos(3kya2）］＋γ2M［1-cos(3kya2）］［5+4cos(3kya2)］=ω2L （9） 当ky=0时，ω21=ω22=0；当ky=2π3a时，ω21=2γ1+6γ2M，ω22=6γ1+2γ2M． 相对应的极化向量是通过正交关系（2）式得到k1·k2=0，并将其代入（1）式求得：k1=（1，0）=eTk，k2=（0，1）=eLk k1与传播方向相垂直为横波极化向量eTk，k2与传播方向平行代表纵波eLk．（Ⅱ）沿M\|K方向上： 由于ky=2π/3a,kx∈［0,2π/3a］，则有：Dxy()=Dyx()=0Dxx()=γ1M［3-2cos(kxa)+cos(kxa2)］+3γ2M［1+cos(3kxa2)］Dyy()=3γ1M［1+cos(kxa2)］+γ2M［1+cos(3kxa2)］将它们代入（7）式得：ω21=γ1M［1+cos(kxa2)］［5-4cos(kxa2)］+3γ2M［1+cos(3kxa2）］（10）ω22=3γ1M［1+cos(kxa2）］+γ2M［1+cos(3kxa2）］（11） 当kx=0时，ω21=2γ1+6γ2M,ω22=6γ1+2γ2M；当kx=2π3a时，ω21=ω22=9γ12M． 同理，相对应的极化向量k1·k2=0，并将其代入（1）式求得：k1=（1，0），k2=（0，1） 它们与M\|K连线方向上每点波矢方向（Γ点与MK线上每点连线方向）既不平行，也不垂直，说明沿M\|K线上的格波既非纵波，又非横波．（Ⅲ ）沿Γ\|K方向上： 由于ky=3kx，kx∈［0，2π/3a］，则有：Dxx()=γ1M［3-2cos(kxa)-cos(kxa2)cos(3kxa2)］+3γ2Msin2(3kxa2)Dxy()=Dyx()=3γ1Msin(kxa2)sin(3kxa2)+3γ2Msin2(3kxa2)Dyy()=3γ1M［1-cos(kxa2)cos(3kxa2)］+5γ2Msin2(3kxa2)将它们代入（7）式中得到：ω21=3γ1M［1-cos(kxa)］+2γ2Msin2(3kxa2)=ω2T（12）ω22=γ1M［1-cos(kxa)］［5+4cos(kxa)］+6γ2Msin2(3kxa2)=ω2L （13） 当kx=0时，ω21=ω22=0；当kx=2π3a时，ω21=ω22=9γ12M． 相对应的极化向量k1·k2=0，并将其代入（1）式求得：k1=（1，-33）=eTk，k2=（33，1)=eLkk1与传播方向相垂直为横波极化向量eTk，k2与传播方向平行代表纵波eLk．2.2次近邻原子间作用对第一布里渊区中三种特殊对称方向色散关系的影响 将有关物理量取为无量刚的常数，如原子质量M取单位质量，晶格常数a取单位长度，最近邻原子间以及次近邻原子间相互作用的强弱通过弹性力耦合常数γ1和γ2来描述．我们考虑如下两种情况：当γ1≠0,γ2=0时，即只考虑最近邻原子间作用，不考虑次近邻原子间作用；当γ1≠0,γ2≠0时，即既考虑最近邻原子间作用，又考虑次近邻原子间作用． 若给定γ1=0.8，图3~5分别给出了γ2=0与γ2≠0时第一布里渊区中沿Γ\|M、M\|K和Γ\|K三个特殊对称方向色散曲线．从图3~5中很明显地看出在缺乏次近邻原子作用下晶格振动频谱在Γ点从零开始，两支声学波在M点是非简并的，但是在K点是简并的；最近邻原子间作用足够可以在整个第一布里渊区产生振动频谱．无论γ2=0还是γ2=0.2、0.4、0.6的任意情况，每一个对称方向都存在两条声学支色散曲线，并且纵波频率高于横波频率．图3当γ2=0与γ2=0.2时第一布里渊区中三个特殊对称方向色散曲线的比较Fig.3 The comparison of dispersion curves along three symmetrydirections in the first Brillouin zone for γ2=0 and γ2=0.2图4当γ2=0与γ２=0.4时，第一布里渊区中三个特殊对称方向色散曲线的比较Fig.4 The comparison of dispersion curves along three symmetrydirections in the first Brillouin zone for γ2=0 and γ２=0.4 图5当γ2=0与γ2=0.6时第一布里渊区中三个特殊对称方向色散曲线的比较Fig.5 The comparison of dispersion curves along three symmetrydirections in the first Brillouin zone for γ2=0 and γ2=0.6图3~5也显示，随着次近邻原子间作用的增强，声子频率不断增大（除Γ和K点），Γ\|M方向横波和纵波频率间隙不断减小，并且纵波频率出现极大值；M\|K方向两声学波频率间隙也不断减小；Γ\|K方向横波色散曲线部分逐渐趋近与最近邻原子作用下的纵波色散曲线重合，而纵波声子频率的极大值显著增大．结果表明，次近邻原子之间的相互作用对三角晶格色散关系影响显著．此外，经过比较发现次近邻原子作用下，声子频率在Γ和K点仍然分别都是简并的，并且其频率大小不受次近邻原子作用的影响，而在M点声子频率亦是非简并的．3结语 本研究利用晶格动力学理论推导了计及次近邻原子作用下平面正三角晶格振动的色散关系，得到第一布里渊区中沿三个特殊对称方向的色散关系表达式；每一对称方向都有两支声学波，其中Γ\|M和Γ\|K方向有一支纵波和一支横波，而M\|K方向两支声学波既非纵波、又非横波，且纵波的频率高于横波的频率．分析讨论了次近邻原子作用对色散关系的影响：在缺乏次近邻原子作用下，最近邻原子间作用足够可以在整个第一布里渊区产生振动频谱；随着次近邻原子间作用的增强，声子频率不断增大，Γ\|M和M\|K方向两声学支的频率间隙不断减小，Γ\|K方向部分横波声子频率逐渐趋近于最近邻原子作用下的纵波声子频率，而其纵波声子频率的极大值显著增大， 表明次近邻原子之间的相互作用对平面正三角晶格色散关系有显著的影响．但是，声子频率在Γ和K点始终不变并分别简并，而在M点频率非简并．致谢 本工作得到国家自然科学基金委员会和湖北省教育厅提供的资助，在此致以衷心的感谢!