《武汉工程大学学报》 2014年09期
7-11
出版日期：2014-09-30
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
任意线弹性支承的双跨压杆稳定性计算
0引言一些文献［15］采用了统一的计算模型，得到了各种完全理想支承下的等截面细长压杆临界压力计算公式.工程实际中，由于一些结构的特殊需求或制造工艺上的缺陷或制造成本等因素，其连接处既不是完全理想铰支也不是完全理想固支，而是处于半刚性连接状态［6］,即支承对压杆的挠度约束的刚度系数或（和）对压杆的转角约束的刚度系数不是零或无穷大，而是介于零与无穷大之间.为此，需要解决各种可视为弹性支承的压杆临界压力计算问题.文献［78］等对弹性支承的单跨压杆进行了研究，文献［910］对完全理想支承的连续梁式压杆进行了研究.对各种需视为线弹性支承的双跨压杆，鲜见文献建立临界压力的统一的特征方程并进行系统的分析.本文拟对任意线弹性支承的双跨压杆建立统一的临界压力特征方程，以方便工程应用.1公式推导设长为l、抗弯刚度为EI的双跨压杆在A、B、C处受任意线弹性支承，其处于微弯曲平衡状态，其受力和变形可建立如图1所示模型.图1整体微弯曲平衡状态Fig.1Micro bending equilibrium state of whole1.1变形方程AB段即0≤x1≤x时,弯矩方程 M1(x1)=FAx1-MeA-F\[w1(x1)-w1(0)\].由挠曲线近似微分方程EIw″1(x1)=M1(x1)得EIw″1(x1)=FAx1-MeA-F\[w1(x1)-w1(0)\].令k2=FEI，则挠曲线方程w1(x1)的通解为w1(x1)=acoskx1+bsinkx1+FAFx1-MeAF+w1(0).（1）转角方程w′1(x1)=-aksinkx1+bkcoskx1+FAF. （2）BC段即x≤x2≤l时,弯矩方程M2(x2)=FC(l-x2)+MeC-F\[w2(x2)-w2(l)\].由挠曲线近似微分方程EIw″2(x2)=M2(x2)得EIw″2(x2)=FC(l-x2)+MeC-F\[w2(x2)-w2(l)\].令k2=FEI，则w2(x2)的通解为w2(x2)=ccoskx2+dsinkx2+FCF(l-x2)+MeCF+w2(l),（3）w′2(x2)=-cksinkx2+dkcoskx2-FCF.（4）第9期黄开志,等：任意线弹性支承的双跨压杆稳定性计算武汉工程大学学报第36卷1.2变形边界条件在式（1）和式（2）中令x1=0，得到压杆A处的变形满足a-MeAF=0,（5）bk+FAF-w′1(0)=0.（6）压杆在B处左边变形连续，即w1(x)-w(x)=0，w′1(x)-w′(x)=0.在式（1）和式（2）中令x1=x,得 acoskx+bsinkx+FAFx-MeAF+w1(0)-w(x)=0,（7）-aksinkx+bkcoskx+FAF-w′(x)=0.（8） 压杆在B处右边变形连续，即w2(x)-w(x)=0，w′2(x)-w′(x)=0.在式（3）和式（4）中令x2=x,得 ccoskx+dsinkx+FCF(l-x)+MeCF-w(x)+w2(l)=0,（9）-cksinkx+dkcoskx-FCF-w′(x)=0.（10）在式（3）和式（4）中令x2=l，得到压杆C处的变形满足ccoskl+dsinkl+MeCF=0，（11）-cksinkl+dkcoskl-FCF-w′2(l)=0.（12）1.3静力平衡条件FAF+FBF+FCF=0,（13）-FAFx+MeAF+MeBF+FCF(l-x)+MeCF-w1(0)+w2(l)=0.（14）1.4物理条件设线弹性支承A、B、C对压杆的挠度约束的刚度系数分别为KA、KB、KC ，对压杆的转角约束的刚度系数分别为CA、CB 、CC ，则压杆在支承处的约束反力和变形满足下述条件: FA=-KAw1(0), MeA=-CAw′1(0), FB=-KBw(x), MeB=-CBw′(x), FC=-KCw2(l), MeC=-CCw′2(l).上述6式均除F，并考虑到F=k2EI，则有:FAF+KAk2EIw1(0)=0,（15）MeAF+CAk2EIw′1(0)=0,（16）FBF+KBk2EIw(x)=0,（17）MeBF+CBk2EIw′(x)=0,（18）FCF+KCk2EIw2(l)=0,（19）MeCF+CCk2EIw′2(l)=0.（20）1.5特征方程由式（5）～式（20）确定了一个关于16个初参数a、b、c、d、FA/F、MeA/F、FB/F、MeB/F、FC/F、MeC/F、w1(0)、w′1(0)、w(x)、w′(x)、w2(l)、w′2(l)的齐次线性方程组，其有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零，由此得到临界压力的特征方程（21）.2公式应用这里将线弹性支承的双跨压杆分为完全理想支承双跨压杆和非完全理想支承双跨压杆.完全理想支承双跨压杆是指每个刚度系数只能取零或无穷大的压杆，其取值见表1所示.非完全理想支承双跨压杆是指至少有一个刚度系数为非零有界值的压杆.表1完全理想支承刚度系数Table 1Stiffness coefficient of completely ideal support支承情况刚度系数KiCi固支∞∞铰支∞0定向0∞自由00i=A,B,C2.1完全理想支承压杆其作为线弹性支承双跨压杆的特例，在工程中很常见，其处理过程如下：a.根据压杆在A、B、C 处支承情况，先在（21）式中置刚度系数为零的项为零，并用软件如maple等展开，接着用所有非零刚度系数的乘积去除展开式（符号运算），最后对所有非零刚度系数取无穷大，则能充分消项；b.令x=ml，k=πul，得到仅含参数m和u的方程f(m,u)=0；c.绘制f(m,u)=0曲线，则0≤m≤1且0.25≤u≤2区域曲线即为所求mu曲线；d.籍欧拉公式F=π2EI(ul)2可计算临界压力.本文以中部支座B为铰支的9种压杆为例进行了计算，结果见图2.图2mu曲线Fig.2The curve of mu图2中，mu曲线的最低点坐标表示中部支承的最佳位置及最小的长度因数，最高点坐标表示最差位置及最大的长度因数.表2中，加粗(含斜体加粗)数字表示中部支承B在最佳位置m0时，压杆的最小长度因数umin.斜体(含斜体加粗)数字表示中部支承B无限靠近压杆左右两端（即m=0或m=1）时，压杆的长度因数u，该结果与表3所述的等效的单跨压杆的长度因数一致，符合理论预期.由图2不难发现，08号曲线（定向铰支定向）和09号曲线（定向铰支自由）为水平直线，即这类压杆的长度因数与中部支承位置无关.工程中可利用这个特点，使压杆设计和施工具有一定的灵活性，即在确保压杆功效不变的同时，有时还能降低制造成本.由表2中的长度因数u并利用欧拉公式Fcr=π2EI(ul)2可计算临界压力，计算略.表2长度因数(u)Table 2Factor of length(u)№ m00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.001固支铰支固支0.500.460.430.390.360.350.360.390.430.460.5002固支铰支铰支0.700.640.590.540.490.440.410.410.440.470.5003固支铰支定向1.000.910.850.770.700.630.570.530.510.500.5004固支铰支自由2.001.831.701.541.401.251.110.980.850.760.7005铰支铰支铰支0.700.650.600.560.520.50.520.560.600.650.7006铰支铰支定向1.000.930.870.800.750.700.670.670.680.690.7007铰支铰支自由2.001.851.751.591.471.341.231.131.051.011.0008定向铰支定向1.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.0009定向铰支自由2.002.002.002.002.002.002.002.002.002.002.002.2非完全理想支承压杆非完全理想支承双跨压杆的每个支承的两个刚度系数一般为有界值.若其某些刚度系数为无穷大，则先按2.1a处理即可.算例：设某线弹性支承的双跨压杆l=10 m，EI=0.5 MN·m2，KA=0.2 MN/m，CA=0.1 MN·m/rad，KB=0，CB=0.3 MN·m/rad，KC=0.2 MN/m，CC=0.处理过程与2.1类似，结果见图3.由图3知，当m0=0.88时，umin=0.68；m1=0.52时，umax=0.88.由图3知，当m=0时，u=0.78，该压杆应接近但弱于固支铰支压杆，而固支铰支压杆的长度因数为0.7，即 u=0.78>0.7 ；当m=1时，u=0.71，该压杆应接近但弱于固支固支压杆，而固支固支压杆的长度因数为0.5，即u=0.71>0.5.结果符合理论预期.利用公式Fcr=π2EI(ul)2可计算该压杆的临界压力，计算略.表3等效压杆Table 3 The equivalent long column№m01.001固支铰支固支固支固支固支固支02固支铰支铰支固支铰支固支固支03固支铰支定向固支定向固支固支04固支铰支自由固支自由固支铰支05铰支铰支铰支固支铰支铰支固支06铰支铰支定向固支定向铰支固支07铰支铰支自由固支自由铰支铰支08定向铰支定向固支定向定向固支09定向铰支自由固支自由定向铰支图3mu曲线Fig.3The curve of mu3结语本文从材料力学角度，采用初参数法对任意线弹性支承的双跨压杆的稳定性进行了计算，得到了计算临界压力的特征方程.对任意线弹性支承的多跨压杆的稳定性计算问题，也可参照该方法进行类似处理，但计算量会变得更大.致谢本文得到重庆科技学院的资助，在此表示衷心的感谢！