《武汉工程大学学报》 2014年09期
70-73
出版日期：2014-09-30
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
不确定非线性网络控制系统的鲁棒保性能控制
0引言近20年来，无线网络控制系统由于其布线少、功耗低、安装维护简单等诸多优点［12］受到了越来越多研究者们的青睐.同时由于无线网络的引入，产生了许多新的问题，如网络诱导时延，数据丢包，量化误差等.另一方面，由于TakagiSugeno(TS)［3］模糊模型数学描述证明的严格性，也有很多学者采用TS模型来研究非线性系统［4］.针对于非线性无线网络控制系统的稳定性分析和控制器设计方面取得了不少成果［511］.然而，针对于不确定非线性网络控制系统的保性能控制的研究还比较少，因此，本文将考虑基于TS模型的不确定非线性控制系统的保性能控制，同时研究了对数量化器的引入对系统性能的影响.1问题的描述及预备知识考虑由带有不确定参数的TS模型描述的非线性网络控制系统，表达式如下：第i条模糊规则为Ifθ(t)isMi1,θ2(t)isMi1,…andθn(t)isMin,then x·(t)=AiΔx(t)+BiΔμ(t)x(t)=φ(t),t∈\[t0-η,t0\],i=1,2,…,r其中，θ1(t),θ2(t),…,θn(t)为规则前件变量，Min为模糊集,r为规则数目，x∈Rn是系统的状态向量，μ(t)∈Rm是控制输入, η表示允许的最大信号传输延迟，φ(t)是已知的初始状态条件.不确定矩阵AiΔ和BiΔ可以表示为\[AiΔBiΔ\]=\[AiBi\]+\[ΔAiΔBI\]\[ΔAiΔBi\]=GiHi(t)\[EaiEbi\] 其中矩阵Ai、Bi、Gi、Eai、Ebi是已知的具有适当维数的实常数矩阵，矩阵Hi(t)是未知矩阵且满足HTi(t)Hi(t)≤I,t≥0.根据文献［3］采用单点模糊产生器、乘积推理机以及中心模糊加权反模糊化，全局模糊系统可以转化为如下形式:x·(t)=Σri=1fi(θ(t))\[AiΔx(t)+BiΔu(t)\]其中fi(θ(t))=Fi(θ(t))Σri=1Fi(θ(t))Fi(θ(t))=Πnm=1Mim(θm(t))其中Mim(θm(t))表示前件变量θm(t)对应于模糊值Mim的隶属度.在这篇文章中,假设 Fi(θ(t))≥0,i=1,2,…,r,Σri=1Fi(θ(t))＞0,t＞0fi(θ(t))≥0,i=1,2,…,r,Σri=1fi(θ(t))=1,t＞0采用单点模糊产生器、乘积推理机以及中心模糊加权反模糊化，上述的模糊状态反馈控制律可表示为在一个经典的网络控制系统中采样器是时钟驱动的，量化器、控制器、零阶保持器是时间驱动的，同时考虑到网络导致的时延和丢包，基于状态反馈的网络控制系统模型可以转化为:u(t)=Σri=1fi(θ(t))Kj(I+Dq)x(t)x·(t)=Σri=1Σrj=1fi(θ(t))fj(θ(ikh))\[AiΔx(t)+BiΔKj(I+Dq)x(ikh)\],t∈\[ikh+τk,ik+1h+τk+1\]x(t)=φ(t),t∈\[t0-η,t0\]闭环系统性能指标为J=Σrj=1fj(θ(ik,h))\[∞t0xt(t)T1x(t)dt+Σ∞k=1ik+1h+τk+1ikh+τk\]xT(ikh)(I+Dq)TKTjT2Kj(I+Dq)x(ikh)dt其中T1＞0和T2＞0是给定的对称正定矩阵.定义1： 对上述和性能指标，如果存在一个量化的模糊控制律和一个正数J*，使得对所有允许的不确定性，闭环系统是渐近稳定的，且闭环性能指标值满足J≤J*，则J*称为不确定系统的一个性能上界，称为网络控制系统的一个量化的模糊保性能控制律.第9期崔凤新：不确定非线性网络控制系统的鲁棒保性能控制武汉工程大学学报第36卷2保性能控制器设计定理： 考虑以上系统和性能指标，给定一个常数η，δj（j=1,2,…,r），矩阵T1＞0,T2＞0，如果存在适当维数的矩阵X＞0,＞0,Zj，1 ,2, M（j=1,2,…,r），和一个标量εi（i=1,2,…,r），使得以下矩阵不等式对所有的不确定性都成立：Eij=E11ijE12j*E22＜0,(i,j=1,2,…,r)(1)其中E11i=Ω11iΩ12ijΩ13i1XETai*Ω22Ω23ij2(1+δj)ZTjETbi**Ω32i00***-η0****-εi E12j=T1X0-T20(1+δj)ZTj0000T0000000 E22=diag{--T-T-11-T-12}Ω11i=AiXT+XATi+T1+1+εiGiGtiΩ12ij=BiZj(1+δj)+T2-1Ω13i=XATi+εiGiGTiΩ22=-T2-2Ω23ij=(1+δj)ZTjBTiΩ33i=-X-XT+η+εiGiGTi那么量化模糊控制律是不确定系统的一个网络保性能控制律，控制器增益为Kj=ZjX-T，且闭环系统保性能指标满足:J*=xT(t0)X-1x(t0)+0-ηt0t0+θφT(s)X-1X-Tφdsdθ证明： 选取Lyapunov函数V(t)=xT(t)Px(t)+0-ηtt+θxT(s)Qx(s)dsdθ其中P>0,Q>0.对V(T)求导可得：V·(t)≤V·(t)+xT(t)T1x(t)+xT(ikh)(I+Dq)TKTjT2Kj(I+Dq)x(ikh)≤Σri=1Σrj=1fi(θ(t))fj(θ(ikh))ξT(t)Y11iY12ij*Y22ij+η N(MTQ+I)Q-1(QTM+I)NTξ(t)其中，Y11i=PAiΔ+ATiΔPT+ ηATiΔQAiΔ+N1+NT1+N1MTQ+QTMNT1+T1Y12ij=PBiΔKj(I+Dq)+nATiΔQBiΔKj(I+Dq)+NT2-N1-N1MTQ+QTMNT2Y22ij=η(I+Dq)TKTjBTiΔQBiΔKj(I+Dq)-NT2-N2-N2MT-QTMNT2+(I+Dq)TKTjT2Kj(I+Dq)由定理中式（1）可得V·(xt)＜-\[xT(t)T1x(t)+xT(ikh)(I+Dq)TKTjT2Kj(I+Dq)x(ikh)\]于是∞t0V(xt)dt＜-\[∞t0xT(t)T1x(t)dt+Σ∞k=1ik+1h+τk+1ikh+τkxT(ikh)(I+Dq)TKTjT2Kj(I+Dq)x(ikh)dt\]因此 J＜V(xt0)J*=xT(t0)Px(t0)+0-ηt0t0+θφT(s)Qφ(s)dsdθ证毕.3数值例子考虑由网络控制的一刚性机械臂，该机械臂的一端通过旋转铰链连接至基体，运动方程表示如下：Gυ=-(0.5mgy+Mgy)sinυ+μ其中υ表示铰链的旋转角度,m=1.5 kg为负载质量，M=3 kg为机械臂质量，g= 9.8 m/s2为重力加速度，y=0.5 m为臂长，C=My2+(1/3)my2=0.875 kg·m2为惯性常数，μ为所加控制转矩，υ=0表示机械臂处于垂直平衡位置.控制任务是使机械臂从υ∈\[0,(π/2)\]回到平衡位置，使υ=0,υ.，υ=0.定义状态变量x1=υ,x2=υ.，构造TS模糊模型如下：规则1: Ifx1isabout 0,thenx.=A1Δx+B1Δμ.规则2: Ifx1isaboutπ/2,thenx.=A2Δx+B2Δμ..其中A1=01-(0.5mgy+Mgy)C0A2=01-2(0.5mgy+Mgy)πC0B1=B2=01CG1=G2=IEb1=Eb2=0Ea1=000.50Ea2=00-0.50在这个例子中，由仿真得到ηmax=0.129 2，取η=0.048.系统轨迹如图1所示.当不考虑TS模糊模型中的不确定性时，在相同条件下与文献［11］ 进行比较，结果如表1所示.表1系统性能比较Tab1The comparison of system performance〖2〗J*K1K2本文15.63［-0.541 7-1.432 7］［-0.441 7-2.532 7］文献［11］45.06［1.352 2-0.642 2］［-5.003 7-0.768 7］由表1中的比较结果可知，由本篇文章中定理得到的闭环系统保性能指标J*要优于文献［11］中的.图1系统轨迹Fig.1The system trajectory注：4结语以上给出的一类非线性网络控制系统的保性能控制器的设计方法，非线性系统采用TS模型来描述，同时考虑了无线网络中数据丢包、延时，建立了新的闭环系统的数学模型.并通过Lyapunov定理，给出了使系统保持一定性能的控制器的设计方法.同时还考虑了系统参数不确定性及对数量化器的引入对系统性能的影响.数值仿真验证了所提方法的有效性.致谢本论文得到了柏建军博士的指导，在此深表谢意.