《武汉工程大学学报》 2015年03期
25-28
出版日期：2015-04-23
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
基于自回归模型的桥梁脉动风场模拟
０ 引 言风荷载是结构设计时必需考虑的一类重要的随机动力荷载. 在桥梁抖振动力时程分析中，首先需要根据目标功率谱函数模拟出时程脉动风速场，进而得到时程抖振力，因此准确地模拟脉动风场是进行桥梁抖振时域分析的前提. 风速时程数值模拟的方法主要有基于三角函数叠加的谐波合成法（ＷＡＷＳ）以及基于数字滤波技术的线性滤波法，后者又包括自回归算法（ＡＲ）、移动平均算法（ＭＡ）及自回归移动平均算法（ＡＲＭＡ）［１］等. 其中自回归模型（ａｕｔｏ－ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ， ＡＲ）可以模拟具有时间相关性和空间相关性的脉动风场，计算效率和计算精度较高，得到了广泛地应用，本文采用自回归（ＡＲ）模型模拟某桥主梁处的脉动风场. １ 风场的基本特性１．１ 脉动风谱脉动风功率谱密度函数反映了脉动风平均功率在频谱上的分布规律，是风场模拟的特征参数. 用于工程设计的水平脉动风速谱主要有Ｄａｖｅｎｐｏｒｔ谱、Ｈａｒｒｉｓ谱和Ｋａｉｍａｌ谱；竖向脉动风速谱主要有Ｌｕｍｌｅｙ－Ｐａｎｏｆｓｋｙ谱、Ｐａｎｏｆｓｋｙ－ＭｃＣｏｒｍｉｃｋ谱. 如式（１）和式（２）所示，本文采用Ｋａｉｍａｌ谱作为水平向风的风速谱，采用Ｐａｎｏｆｓｋｙ谱作为竖向风的风速谱［２］. ■=■（１） ■=■（２）式（１）（２）中f=■；u*=■；Zd=H-■；kd=■. Ｓｕ（ｎ）、Ｓｗ（ｎ）分别为水平向和竖向脉动风速功率谱；ｎ为脉动风频率（Ｈｚ）；Ｚ为有效高度； Ｕ（Ｚ）为高度Ｚ处的平均风速； u*为气流摩阻速度（亦称剪切速度）；Ｋ为无量纲常数，一般取为０．４；Ｚｄ为零平面高度；Ｈ为周围建筑物的平均高度；ｋｄ为地面阻力系数；Ｚ０为地面粗糙长度. １．２ 相干函数考虑在不同时间和空间上的相关性是客观模拟脉动风场所必需的，在频域中脉动风的相关性一般用相干函数来表示. 以式（３）所示的相干函数ｒｉｋ（ｎ）来考虑风速时程的空间相关特性［２］：ｒｉｋ（ｎ）= exp■（３）式（３）中，Ｃｘ、Ｃｙ、Ｃｚ分别表示空间任意两点ｉ、ｋ一者较之另一者在左右、上下、前后方位上的衰减系数，一般分别取为１６、８和１０；（ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ）、（ｘｋ，ｙｋ，ｘｋ）分别为空间ｉ、ｋ点的三维坐标，ｉ、ｋ＝１，…，Ｍ；ｘ、ｙ、ｚ分别为垂直于来流的水平方向、来流方向和竖向；■（ｚｉ）、■（ｚｋ）分别表示第ｉ点和第ｋ点的平均风速.２ 脉动风场模拟Ｍ个相关的随机风过程可由式（4）生成： ｕ（ｔ）＝■ψkｕ（ｔ－ｋΔｔ）＋Ｎ（ｔ） （４）式（４）中ｕ（ｔ）＝［ｕ１（ｔ），…，ｕＭ（ｔ）］Ｔ，ｕ（ｔ－ｋΔｔ）＝［ｕ1（ｔ－ｋΔｔ），…，ｕM（ｔ－ｋΔｔ）］T，Ｎ（ｔ）＝［Ｎ１（ｔ），…，ＮＭ（ｔ）］Ｔ， Ｎｉ（ｔ）为期望值为０、协方差给定的正态分布随机过程，ｉ＝１，…，Ｍ；ψk为Ｍ×Ｍ阶矩阵，ｋ＝１，…，ｐ；ｐ为ＡＲ模型的阶数，一般取４或５，因此模拟风速的问题归结为求解ψk和Ｎ（ｔ）的过程［３］. ２．１ 协方差由随机振动理论可知，相关函数（协方差）与功率谱密度之间满足维纳－辛钦公式，即Ｒ■■（ｊΔｔ）＝■Ｓ■■（ｎ）ｃｏｓ（２πｊｎΔｔ）ｄｎ i，ｋ＝１，…，Ｍ（５）式（５）中ｎ为脉动风频率（Ｈｚ）；Ｓ■■（ｎ）为在ｉ＝ｋ时为脉动风速自谱密度函数，在ｉ≠ｋ时为脉动风速互谱密度函数，即 Ｓ■■（ｎ）＝■ｒｉｋ（ｎ） （６）式（６）中ｒｊｋ（ｎ）为相干函数，Ｓ■■（ｎ）或Ｓ■■（ｎ）可采用Ｄａｖｅｎｐｏｒｔ谱、Ｓｉｍｉｕ谱、Ｋａｉｍａｌ谱等形式［４］. ２．２ 回归系数矩阵协方差Ｒｕ（ｊΔｔ）与回归系数ψｋ的关系写成矩阵形式有［５－7］： Ｒ＝■ψ （７）式中， ＲｐＭ×Ｍ＝［Ｒｕ（Δｔ），…，Ｒｕ（ｐΔｔ）］Ｔ （８） ψｐＭ×Ｍ＝［ψ■■，…，ψ■■］Ｔ （９）■ｐＭ×Ｍ= Ru（0） Ru(Δｔ) …Ru［（p-2）Δｔ］ Ru［（p-1）Δｔ］ Ru(Δｔ) Ru(2Δｔ) … Ru［（p-1）Δｔ］ Ru(0) ■ ■ ■ ■ ■ Ru［（p-2）Δｔ］ Ru［（p-1）Δｔ］ … Ru［（p-4）Δｔ］ Ru［（p-3）Δｔ］Ru［（p-1）Δｔ］ Ru［（0）］ … Ru［（p-3）Δｔ］ Ru［（p-2）Δｔ］（１０）其中，Ｒu(jΔｔ)Ｍ×Ｍ＝Ｒ■■(jΔｔ) … Ｒ■■(jΔｔ) ■ ■ ■Ｒ■■(jΔｔ)］ … Ｒ■■■■(jΔｔ)］ j=1,…，p （１１） ψjＭ×Ｍ=ψ■■ … ψ■■ ■ ■ ■ ■ψ■■… ψ■■（１２）回归系数矩阵ψ可通过求解线性方程组式（４）而得到. ２．３ 随机过程对式（４）等号两边右乘ｕ（ｔ）并取数学期望有： ＲＮ＝Ｒｕ（０）－■ψｋＲｕ（ｋΔｔ） （１３）求出ＲＮ后对其作乔利斯基分解： ＲＮ＝ＬＬＴ （１４）Ｌ为下三角矩阵，则有： Ｎ（ｔ）＝Ｌｎ（ｔ） （１５）式中ｎ（ｔ）＝［ｎ１（ｔ），…，ｎＭ（ｔ）］Ｔ，ｎｉ（ｔ）是均值为０、方差为１且彼此相互独立的正态随机过程，ｉ＝１，…，Ｍ. ２．４ 风速时程求出回归系数矩阵ψ及ＲＮ后，可按式（４）求解出得到Ｍ个空间相关的、时间间隔Δｔ的离散脉动风速时程向量. ３ 工程应用某桥为主跨４６０ ｍ的斜拉桥，桥位处的基本风速为V10＝３７．６ ｍ／ｓ，该桥处于沿海开阔地带，地表类别按照Ａ类地貌取用. 桥位平均风速服从幂指数分布，风剖面指数为α＝０．１２，主桥跨中的桥面标高为４２ ｍ，对应的主梁设计基准风速为５３ ｍ／ｓ. 水平脉动风速采用Ｋａｉｍａｌ谱，ＡＲ模型阶数为４，模拟时间步长为０．１ ｓ. 计算中仅考虑作用在主梁上的脉动风，主梁上每隔２５．５５ ｍ取一个脉动风速点，共１９个点. 桥梁及风速点划分示意图如图１所示. 图１ 桥梁及风速点划分示意图Ｆｉｇ．１ Ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ａｎｄ ｗｉｎｄ ａｃｔｉｏｎ ｐｏｉｎｔｓ图２ １号点脉动风速时程Ｆｉｇ．２ Ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ ｗｉｎｄ ｓｐｅｅｄ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ａｔ ｐｏｉｎｔ １图３ ２号点脉动风速时程Ｆｉｇ．３ Ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ ｗｉｎｄ ｓｐｅｅｄ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ａｔ ｐｏｉｎｔ ２３．１ 脉动风速时程以１号点和２号点为例，模拟的脉动风速时程曲线如图２和图３所示. ３．２ 脉动风速功率谱１号点和２号点处的脉动风速目标功率谱与模拟功率谱比较图如图４和图５所示（光滑曲线为目标功率谱，波动曲线为模拟功率谱）.图４ １号点模拟功率谱与目标功率谱比较Ｆｉｇ．４ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｆｏｒ ｐｏｉｎｔ １图５ ２号点模拟功率谱与目标功率谱比较Ｆｉｇ．５ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍａｎｄ ｔａｒｇｅｔ ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｆｏｒ ｐｏｉｎｔ 2 由图４和图５可知本文合成的随机风速时程功率谱和目标功率谱吻合良好. ３．３ 脉动风速相关性脉动风速相关性见表１. 表1 部分点模拟脉动风速相关性列表Table 1 List of correlation of simulated fluctuating wind speed at some points由表１可知，距离越近，两点脉动风速之间相关性越强，这表明模拟的风速时程相关性是合理的.4 结 语结合某实际桥梁工程，本文基于ＡＲ线性滤波技术对某桥主梁上各计算点的随机脉动风场进行了模拟计算. 模拟结果表明：ａ．合成的随机风速时程功率谱和目标功率谱在高频区和低频区都吻合良好. ｂ．模拟的风速时程相关性合理. 距离越近的两点脉动风速之间相关系数越大，相关性越强；距离越远的两点脉动风速之间相关系数越小，相关性越弱. 致 谢感谢华中科技大学土木工程与力学学院张海龙教授科研团队提供的帮助与支持.