《武汉工程大学学报》 2015年06期
63-66
出版日期：2015-06-30
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
基于三角方法的Ｃａｕｃｈｙ主值积分数值计算
０ 引 言由于奇异积分解决了工程技术领域中的许多实际问题，近年来Ｃａｕｃｈｙ主值积分 I(f;t)=■■d?子= ■(■+■)■d?子 |t|＜1（１）的数值计算问题受到许多学者的关注． 这里只列出少量参考文献［１－６］；由于Ｃａｕｃｈｙ奇异核的特性，在构造（１）的各种求积公式时，基本上都采用去掉奇异性的方法，把式（１）转化成通常意义下的广义积分，然后用适当的代数多项式逼近新的广义积分的被积函数而得到求积公式，大多数学者在构造式（１）的求积公式时，主要着眼于被积函数的各种逼近，很少用变量替换去变换Ｃａｕｃｈｙ奇异核，而Ｐ． Ｋｉｍ和Ｕ． Ｊ． Ｃｈｏｉ在２０００年对式（１）中积分变量进行三角变换，对变换后的主值积分用三角余弦插值多项式去逼近被积函数而得到一种内插型求积公式［７］． 文献［７］用三角变量变换式（１）的奇异核而得到的求积公式不同于以往式（１）的求积公式，实际上他们是在构造一个新的奇异核的主值积分求积公式；但文献［７］也有不足，由于文献［７］中没使用［０，π）上的非等距结点的三角插值工具，他们只构造出［０，π）上２ｎ个等距结点的求积公式，这在应用上会带来诸多不便． 与文献［７］不同的是，本文构造式式（１）的求积公式时取消了对结点个数和等距的限制，并用一个实例来说明求积公式与原积分的误差渐进性． １ π（反）周期三角多项式插值为了构造（１）的非等距结点求积公式，下面引用文献［８］中的一些结果． 定义：如果三角多项式Ｔ（ｘ）满足：Ｔ（ｘ＋π）＝Ｔ（ｘ），称Ｔ（ｘ）是π周期三角多项式；如果Ｔ（ｘ）满足Ｔ（ｘ＋π）＝－ Ｔ（ｘ），称Ｔ（ｘ）是π反周期三角多项式．所有π周期三角多项式组成的集合记为?棕． 所有π反周期三角多项式组成的集合记为Ｈ． 由文献［８］可知：?棕＝｛■(akcos2kx+bksin2kx),ｎ≥０，ａｋ，ｂｋ为常数｝（２）H＝｛■(akcos(2k-1)x+bksin(2k-1)x),ｎ≥０，ａｋ，ｂｋ为常数｝（３）设0≤x1＜x2＜…＜xn＜?仔，v(x)=sin(x-x1)…sin（x-xn），vj(x)=v(x)/sin(x-xj)．引理［８］（１） 当ｎ＝２ｑ＋１时，对任何复数ｙ１，…，ｙｎ，存在唯一的ｎ－１阶π周期三角多项式Ｔ（ｘ）＝■■ｖｊ（ｘ） 满足插值条件Ｔ（ｘj）＝yj，j=1,2,…，n．（２）当ｎ＝２ｑ时，对任何复数ｙ１，…，ｙｎ，存在唯一的ｎ－１阶π反周期三角多项式Ｔ（ｘ）＝■■ｖｊ（ｘ）满足插值条件Ｔ（ｘj）＝yj，j=1,2,…，n．２ Ｃａｕｃｈｙ主值积分的非等距结点求积公式令?子＝ｃｏｓｙ，ｔ＝ｃｏｓｘ，代入式（１）有［７］：I(f(cos·);(cosx))=■■dy =■■dy =I(h;x) ， （４）式（4）中h(y)=f(cosy)． 设0≤x1＜x2＜…＜xn＜?仔，下面分ｎ的奇偶性构造（４）的求积公式，为此，用［０，π）上非等距结点的三角插值多项式去逼近式（４）中的ｈ（ｙ），即用 Ｔ（y）＝■■ｖｊ（y）（５）去逼近式（４）中的ｈ（ｙ）． （１）当ｎ＝２ｑ＋１时，由引理知，式（５）中ｖｊ（ｘ）是ｎ－１＝２ｑ阶π周期三角多项式．由式（２）知:vj(x)=aj0+aj1cos2x+bj1sin2x+…+ajqcos2qx+bjqsin2qx=■(ajkcos2kx+bjksin2kx) j=1,2,…，n， （６）其中，aj0=■■vj(x)dx，ajk=■■vj(x)cos2kxdx k=1,2,…，q，bjk=■■vj(x)sin2kxdx k=1,2,…，q．构造式（４）的求积公式：Q(h;x)=■■dy= ■■■■dy=■Hj■（７）式（7）中Hj=■■dy，j=1,2,…，n.将式（６）代入有Hj=■■-■dy= ■ajk■■dy+■bjk■■dy =■ajkI2k+1+■bjkJ2k+1其中I2k+1=■■dy=■■■-■dyk=0,1,2,…，qJ2k+1=■■dy=■■■-■dy，k=0,1,2,…，q． （２）当ｎ＝２ｑ时，同ｎ＝２ｑ＋１时一样，得到式（４）的求积公式为Q(h;x)=■Dj■ （８）其中Dj=■■dy=■ajkA2k+■bjkB2k而A2k=■■dy,k=1,2,…，qB2k=■■dy,k=1,2,…，q由■=2sin2ky+2cosx■-■，■=2cos2ky+2cosx■-■可得到式（７）、式（８）中求积系数的递推关系： I2k+1=2cosxA2k-I2k-1A2k=2cosxI2k-1-A2k-2+■-■J2k+1=2cosxB2k-J2k-1B2k=2cosxJ2k-1-B2k-2，k=2,…，qI1=log■，J3=-cos?仔2xA2=2+cosxlog■B2=-?仔cosx图 １ ｎ＝４，５，７时，插值函数图像Ｆｉｇ．１ Iｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ as ｎ＝４，５，７ 图 ２ ｎ＝４，６，８时，插值函数图像Ｆｉｇ．２ Iｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ as ｎ＝４，６，８图 ３ ｎ＝３，５，７时，插值函数图像Ｆｉｇ．３ Iｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ as ｎ＝３，５，７ ３ 数值实例设ｈ（ｘ）＝ｘ２ｎ＝３，结点为０，■，■ｎ＝４，结点为０，■，■，■ｎ＝５，结点为０，■，■，■，■ｎ＝７，结点为０，■，■，■，■，■，■ｎ＝６，结点为0，0.3，0.7，1.0，1.2，1.5ｎ＝８，结点为0，0.24，0.5，0.77，0.99，1.21，1.4，■．图１、图２和图３分别是结点个数，ｎ＝４，６，８和ｎ＝４，５，７，ｎ＝４，６，８和ｎ＝３，５，７时，Ｌａｇｒａｎｇｅ三角插值函数的图像，并与原函数，ｈ（ｘ）＝ｘ２进行对比分析，以此来说明插值函数的逼近效果.从实验结果可以看出，不需要取很大的ｎ就可以达到比较好的逼近效果，当然ｎ越大，误差越小，下面数值积分结果也说明了这一点．ｈ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ的数值积分结果：ａｎｓ＝０．７２５ ３４６ ７８３ ４９５ ４０５ １９５ ４７１ ５３５ １８４ ８６５ ７７求积公式的数值积分结果：ａｎｓ＝０．７２５ ３４６ ９２７ ８３２ ９７３ ４１６ ７５４ ５０５ ８５２ ９７９ ６４致 谢感谢湖北省教育厅对本项目的支持！