《武汉工程大学学报》 2015年07期
49-54
出版日期：2015-07-31
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
单层与多层球形容器爆破压力的概率分布
０ 引 言球形容器是压力容器的常见类型，也是石油、化工、医药与能源等行业的常用设备. 球形容器的结构可分为单层与多层两种形式. 目前，工程上采用确定性方法设计球形容器，即采用中径公式计算球形容器爆破压力并确定容器壁厚［１-２］. 由于容器的几何尺寸、容器制造材料的抗拉强度存在随机不确定性［３］，因此，基于随机不确定性，探索球形容器爆破压力概率分布，是建立压力容器可靠性设计方法的基础，也是工程界研究的热点课题［４－７］. 分析球形容器爆破压力概率分布包括两方面，一是研究爆破压力分布规律，即分析其概率密度函数的形式，二是探讨分布参数的取值范围. 对于用相同材料制造的单层与多层球形容器，文献［８-９］基于少量试验数据，定性分析了其爆破压力的分布规律与参数. 文中以用相同或者不同材料制造的单层与多层球形容器为研究对象，基于容器爆破压力的５９组试验数据［１０－１２］，应用数理统计理论与方法［３，１３－１６］，定量研究了球形容器爆破压力的分布规律与分布参数的取值范围. １ 理论分析１．１ 球形容器爆破压力计算公式为研究方便，对球形容器作如下基本假设：１）球形容器有ｎ层，每层球壳材料有足够韧性，不发生低应力破坏；２）在内压作用下，每层球壳变形后形状保持不变，材料的压缩可忽略不计；３）每层球壳的间隙足够小，即容器各层球壳同时爆破，多层球形容器的爆破压力为每层球壳爆破压力之和.如果不考虑有关因素的不确定性，采用中径公式时，球形容器爆破压力的计算值ｕｂ为 ｕｂ=4■?渍i/Ｒｍｉ/■ ｉ＝１，２，…，ｎ （１）式（1）中，ｕｂ为采用中径公式（１）得到的球形容器爆破压力计算值，ＭＰａ；Ｒｍｉ为第ｉ层球壳材料抗拉强度的均值，ＭＰａ；Ｋｉ为第ｉ层球壳径比的均值，Ｋｉ＝Ｄｉ＋１／Ｄｉ；Ｄｉ、Ｄｉ＋１分别为第ｉ层球壳内、外直径的均值；?渍i为第ｉ层球壳焊接接头系数的均值. 如果考虑有关因素的不确定性，用中径公式可得到球形容器爆破压力的预测值ｕｂ/为 ｕｂ/=4■?渍i/Ｒｍｉ/■ （２）式（2）中，ｕｂ/为采用中径公式（１）得到的球形容器爆破压力预测值，ＭＰａ；Ｒｍｉ/为第ｉ层球壳材料抗拉强度的实测值，ＭＰａ；Ｋｉ/为第ｉ层球壳径比的实测值，Ｋｉ/＝Ｄｉ＋１//Ｄｉ/；Ｄｉ/、Ｄｉ＋１/分别为第ｉ层球壳内、外直径的实测值；?渍i/为第ｉ层球壳焊接接头系数的实测值.１．２ 构建具有统计性质的随机变量为分析球形容器爆破压力的概率分布，构建如下随机变量： ｒ=■·■＝ｒ１·ｒ２ （３）式（３）中，Ｐｂ为球形容器爆破压力的实测值，ＭＰａ；ｒ为与式（１）对应的随机变量；ｒ１为容器爆破压力实测值与预测值的比值；ｒ２为容器爆破压力预测值与计算值的比值. 根据数理统计理论［３，１３－１５］，当ｒ１和ｒ２ 基本符合正态分布时，ｒ也基本符合正态分布时，如果已知ｒ１和ｒ２在（１－α）的双侧置信度时分布参数范围 μ１＝μ１ｌ～μ１ｕ，Ｓ１＝Ｓ１ｌ～Ｓ１ｕ （４） μ２＝μ２ｌ～μ２ｕ，Ｓ２＝Ｓ２ｌ～Ｓ２ｕ （５）式（4～5）中，μ１、μ２分别为ｒ１、ｒ２的均值；Ｓ１、Ｓ２分别为ｒ１、ｒ２的标准差. 在一定置信度下，上标ｌ与ｕ分别表示分布参数的较小值与较大值. 根据可靠性理论与方法［３，１４-１５］，在（１－α）的双侧置信度时，ｒ的参数范围由式（４）与式（５）可得 μ＝μｌ～μｕ＝μ１×μ２＝μ１ｌ×μ２ｌ～μ１ｕ×μ２ｕ （６） S=Sl~Su= ■~■（７）式（7）中，μ、Ｓ分别为ｒ的均值与标准差. １．２．１ ｒ１的概率分布 当ｒ１基本符合正态分布时，其分布参数必须由容器爆破压力实测值与预测值的比值来确定，对于ｍ组有效实测数据，根据式（３）可得到第ｊ组实验数据的统计量为 r1j=■ （８）式（8）中，Pbj为第ｊ组容器爆破压力的实验值，ＭＰａ；Ubj′为第ｊ组容器爆破压力预测值，ＭＰａ.ｒ１的准确度与精密度分别为 r1m=■■r1j （９） S1m=■ （１０）式（9～10）中，ｍ为有效试验数据组数；ｒ１ｍ、Ｓ１ｍ分别为ｒ１的准确度与精密度. 在（１－α）的双侧置信度时，ｒ１的均值与标准差的分布区间为［３，１４-１５］ μ1＝［μｌ，μ1ｕ］＝ ［r1m－tm-1，1-0.5α■，tm-1，1-0.5α■］（１１）式（11）中，ｔｍ－１，０．５α，ｔｍ－１，１－０．５α分别是单侧置信度为０．５α与（１－０．５α）时的ｔ分布系数. S1∈［Ｓ■■,S■■］ ＝ S■■，S■■ （１２）式（12）中，?字2m-1,1-0.5α，?字2m-1,0.5α分别是单侧置信度为（１－０．５α）与０．５α时的?字2分布系数. 文中所用的有关系数如表１所示［３，１３－１５］. 表1 系数Table 1 Coefficient１．２．２ ｒ２的概率分布 由于影响爆破压力预测值的物理量是随机变量，有关国家通过标准限制这些物理量的误差范围，把其控制在允许值内，因此，ｒ２基本符合正态分布. 对于按标准设计、制造与检验的球形容器［１－２］，在双侧置信度为（１－α）时，ｒ２的均值与标准差的分布区间为［８-９］ μ２＝μ２ｌ＝μ２ｕ＝１．０ （１３） Ｓ２＝Ｓ２ｌ～Ｓ２ｕ＝０．０６８ ８３～０．０７３ ３０（１４）１．２．３ ｒ分布的概率密度函数 根据数理统计理论［３，１３－１５］，当ｒ１、ｒ２基本符合正态分布时，ｒ也基本符合正态分布，其概率密度函数为 f(r)=■exp-■ （１５）１．３ Ｐｂ的概率分布在相同的试验条件时，爆破压力的计算值ｕｂ是确定量，如果Ｐｂ也基本符合正态分布，取双侧置信度为（１－α），根据式（１）、式（３）、式（６）与式（７）可知，Ｐｂ的均值与标准差的分布区间为 μpｂ＝μ·ｕｂ∈［μｌｕｂ，μｕｕｂ］ （１６） ?滓pｂ＝Ｓ·ｕｂ∈［Ｓｌ·ｕｂ，Ｓｕ·ｕｂ］ （１７）式（１６～１７）中，μｐｂ、σｐｂ分别为Ｐｂ的均值与标准差. Ｐｂ分布的概率密度函数为 f(Ｐｂ)=■exp-■（１８）将式（１６）与式（１７）代入式（１８）可得 f(Ｐｂ)=■exp-■＝■（１９）若试验条件相同，由式（１）得到的爆破压力计算值ｕｂ是确定量，根据式（１９）可知，Ｐｂ与ｒ的分布规律相同，即Ｐｂ基本符合正态分布，但是两者的分布参数不同. １．４ Ｐｂ的取值区间根据式（１６）与式（１７），取Ｐｂ最苛刻的分布参数为（μｌｕｂ，Ｓｕｕｂ）时，爆破压力的实测值位于取值区间 Ｐｂ∈［μｌｕｂ－βＳｕｕｂ，μｌｕｂ＋βＳｕｕｂ］ （２０）的可靠度为 Ｒ＝?准（β） （２１）式（21）中，β为可靠度系数；?准（β）为标准正态积分.２ 概率分布的假设检验与分布参数２．１ 实测数据及有效性分析文献［１０］提供了４组单层球形容器爆破压力实测数据，文献［１１］提供了７组由相同或者不同材料制造的多层球形容器爆破压力实测数据，有关的试验数据如表２所示. 关于ｒ１统计量的准确度与精密度如表３所示. 表2 单层与多层球形容器的爆破压力试验数据Table 2 Single-layer and multilayer spherical vessel burst pressure test data表3 r1的统计数据Table 3 Statistics data of r1由于试验数据有效性对物理量概率分布的分析有重要影响［１３－１５］，因此，在双侧置信度为９８％时，必须分析表２中试验数据的有效性. 采用文献［１４］的方法可知，有效性判别指标的绝对值均小于ｔ１０，０．９９（等于２．７６４），表明有９８％的把握认为表２中试验数据都是有效的. ２．２ ｒ１概率分布的假设检验对ｒ１概率分布可采用假设检验的方法为［３，１４－１６］，假设ｒ１基本符合正态分布，根据１１个有效试验数据，因为１＋３．３ｌｇ１１＝４．４４，因此，把ｒ１１、ｒ１２、…、ｒ１１１分为４个区间，其ｆ＝４－１－２＝１，取δ＝０．０５，由表１可知，皮尔逊统计量的允许值 ?字２１，０. ０５ ＝３．８４１. 每个分组区间的皮尔逊统计量之和如表４所示. 由表４可知，当用式（１）计算球形容器爆破压力时，ｒ１的皮尔逊统计量?字２?滓 为０．６７５ ２，小于临界值３．８４１，表明在显著度为０．０５时，ｒ１基本符合正态分布.表4 r1的皮尔逊统计量?字２?滓 Table 4 Statistic ?字２?滓 of r1２．３ ｒ分布参数的取值区间当球形容器材料屈强比范围为０．５９１ ９～０．８４７ ５，径比范围为１．０５３～１．１２８时，由于ｒ１基本符合正态分布，因此，取双侧置信度为９８％，将表３中有关统计数据代入式（１１）与式（１２），得到ｒ１分布参数的取值区间 μ１∈［１．００１ ３，１．０４９ ７］ （２２） Ｓ１∈［０．００１ ９０，０．０５７ ３３］ （２３）由以上分析可知，ｒ基本符合正态分布，将式（２２）、式（２３）、式（１３）、式（１４）代入式（６）与式（７），可得到ｒ分布参数在双侧置信度为９８％时的取值区间 μ∈［１．００１ ３， １．０４９ ７］ （２４） Ｓ∈［０．０６８ ９５， ０．０９５ ９５］ （２５）２．４ Ｐｂ的概率分布根据以上分析，ｒ１与ｒ基本符合正态分布，因此，用式（１）计算球形容器爆破压力时，Ｐｂ基本符合正态分布，把式（２４）与式（２５）代入式（１６）与式（１７），在９８％的双侧置信度时，球形容器爆破压力Ｐｂ参数的分布区间 μpｂ∈［１．００１ ３ｕｂ， １．０４９ ７ｕｂ］ （２６） ?滓pｂ∈［０．０６８ ９５ｕｂ， ０．０９５ ９５ｕｂ］ （２７）２．５ 实测爆破压力的取值区间根据式（２６）与式（２７），爆破压力最苛刻分布参数为（μｌｕｂ，Ｓｕｕｂ）＝（１．００１ ３ｕｂ，０．０９５ ９５ｕｂ）时，取可靠度为Ｒ＝?准（３.７１９）＝９９．９８％，将有关数据代入式（２０），可得实测爆破压力的取值区间 Ｐｂ∈［０．６４４ ５ｕｂ，１．３５８ １ｕｂ］ （２８）即有９９．９８％的把握认为，球形容器实测爆破压力的取值区间由式（２８）确定. ３ 验 证为证明式（２８）的正确性，应用文献［１２］提供的４８组单层特种球形容器实测爆破压力进行验证，如表５所示. 表5 48组单层球形容器实测爆破压力的验证Table 5 Verification of 48 groups burst pressure measured of single-layer spherical vessel由表５可知，４８组单层特种球形容器爆破压力实测值，均在式（２８）的取值区间内，表明对于径比范围为１．１１４～１．２５７与屈强比范围为０．３３６ ２～０．５２０ ８的单层球形容器，文中的分析与研究也有一定的试验基础. ４ 结 语对于单层球形容器，以及用相同或者不同材料制造的多层球形容器，基于５９组材料屈强比范围为０．３３６ ２～０．８４７ ５，径比范围为１．０５３～１．２５７的球形容器爆破压力的实测数据，定量分析与验证了其爆破压力概率分布，研究表明：ａ．显著度为５％时，球形容器爆破压力实验值与中径公式计算值的比值，是基本符合正态分布的随机变量；在９８％的双侧置信度时，该随机变量均值的范围为１．００１ ３～１．０４９ ７，标准差的范围为０．０６８ ９５～０．０９５ ９５. ｂ．可靠度为９９．９８％时，球形容器爆破压力实测值与中径公式计算值之比不小于０．６４４ ５但不大于１．３５８ １. ｃ． 用中径公式计算球形容器爆破压力，会出现计算值大于实测值的结果. 致 谢感谢湖北省教育厅科研项目（Ｂ２０１４２０９）对本研究的资助!