《武汉工程大学学报》 2019年06期
602-605
出版日期：2021-01-24
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
离心泵双圆弧圆柱形叶片的几何方程
低比转速离心泵叶轮扬程较高、流量较小、流道狭长，叶轮流道扩散严重，因此，技术人员对此进行了大量的研究［1-10］，但优化的水力设计是比较困难的［11］，低比转数叶轮常采用圆柱形叶片［12-14］，其中双圆弧叶片有比较好的效率。但是在已知叶轮内径、外径、包角及进、出口安放角的情况下，这两段圆弧的半径一直是未知的，没有精确的表达式。 刘向军［15］提出的方法中，两端圆弧的半径是靠经验确定的；胡家顺等［16］提出的方法是用迭代的方法才能得到两段圆弧的半径。本文在后者研究的基础上，提出了一种新的绘制方法，并推导该两段圆弧的解析方程。根据本文的方法可以快速、精确的画出该两段圆弧。
1 两段圆弧绘制圆柱叶片的作图法
已知叶轮内径r1、外径r2、包角[?]及进、出口安放角β1、β2，按如下方法作图：
步骤1：如图1（a），分别以点O为圆心，以r1、r2为半径画同心圆；从圆心O点画作线段OA，使OA与OC线段的夹角等于叶片的包角[?]，点A在内圆周上。作射线AB，与线段OA的夹角为β1，作射线CD，与线段OC的夹角为β2，点C在外圆周上。
步骤2：如图1（b），过A点作射线AE，AE与AB的夹角为α，过C点作直线CH与AE交于H点，CH与CF的夹角为[∠HCF=180-α+β2-β1-?2]。过H点作直线HF与CD交于点F，与AB交于G点，HF与CH的夹角为[∠CHF=180-α+β2-β1-?2]。
步骤3：如图1（b），以F点为圆心，以FC为半径画圆弧[CH]；以G点为圆心，以AG为半径画圆弧[AH]，则这两段圆弧即为所求圆弧。
2 几何证明
从作图法中可知，在三角形[ΔCFH]中，CF=FH ，故第二段圆弧的圆心就是F点。[∠CFH = 180-∠CHF × 2 = 2α + β1+?-β2-180]。
设FH交OC于点N，AB交OC于点M。在三角形[CFN]中， [∠HNC = ∠GNM = (∠CFH+β2)=2α+]
[β1+?-180]；
在三角形[ΔAMO]中，
[∠AMO=180-β1-?=∠GMN]；
在三角形[ΔGMN]中，
[∠MGN=180-∠GMN-∠GNM=180-(180-]
[β1-?)-(2α+β1+?-180)=180-2α=∠AGH]
在三角形[ΔAGH]中，[∠AGH=180-∠AHG-]
[∠HAG=180-∠AHG-α=180-2α]，故[∠AHG=][∠HAG=α]，即三角形[Δ AGH]为等腰三角形，GA=GH， 故点G可以作为圆心画同时经过A点与H点圆弧。该圆弧[AH]是第一段圆弧。
3 两段圆弧的半径及方程
求两段圆弧的半径，即求线段CF和AH的长度。以圆心点O点为坐标原点建立直角坐标系，得到C点的坐标为（-r2，0），直线CH的斜率为[tg(γ-β2)]，[γ=180-α+β2-β1-?2]，故直线CH的方程为：
[y=tg(180-α+-β1-β2-?2)(x+r2)=-tg(α+β1+β2+?2)(x+r2)]
A点坐标为[(-r1cos?,r1sin?)]，直线AE的斜率为[-tg(α+?+β1)]，故直线AE的方程为[y=-tg(α+β1+?)(x+r1cos?)+r1sin?]
联立这两个方程即可求得H点的坐标，进而求得线段AH的长度，即为第一段圆弧的半径。进一步求得CH的长度后可以求出CF的长度，即CF的长度为第二段圆弧的半径。H点的坐标为：
[xh=tg(α+0.5β1+0.5β2+0.5?)r2-tg(α+β1+?)r1cos?+r1sin?tg(α+β1+?)-tg(α+0.5β1+0.5β2+0.5?)yh=-tg(α+0.5β1+0.5β2+0.5?)(xh+r2)]
第一段圆弧的半径为
[R1=(xh+r1cos?)2+(yh-r1sin?)2] （1）
第二段圆弧的半径为：
[R2=(xh+r2)2+yh22sin(α+0.5β1+0.5?-0.5β2-90)] （2）
第二段圆弧圆心F点的坐标为
[xf=-r2+R2cosβ2yf=-R2sinβ2]
则第二段圆弧的方程为
[(x+r2-R2cosβ2)2+(y+R2sinβ2)2=R22] （3）
第一段圆弧的圆心G点坐标可由A点坐标得到，
[xg=-r1cos?+R1cos(β1+?)yg=r1sin?-R1sin(β1+?)]
则第一段圆弧的方程为：
[[x+r1cos?-R1cos(β1+?)]2+]
[[y-r1sin?+R1sin(β1+?)]2=R12] （4）
由式（1）和（2）可知，在叶片参数给定情况下，圆弧半径R1和R2仅仅是[α]的函数。在图1（b）建立坐标原点在O点的极坐标[(r,θ)]，则式（3）和式（4）可改写为极坐标下的方程。第二段圆弧的方程为：
[r2+2r[r2cosθ-R2cos(θ+β2)]+r22-2r2R2cos?β2=0]
解得：
[r=R2cos(θ?+β2?)-r2cosθ+R22-[R2sin(θ+β2)-r2sinθ]2?[180-?+ arcsin2R1sinαsin(α+β1)4R12sin2α+r12-4R1r1sinαcos(α+β1)θ180]] （5）
第一段圆弧的方程为：
[r2+2r[r1cos(θ+?)-R1cos(θ+β1+?)]+r12?-2r1R1cos?β1=0??????]
解得：
[ r=R1cos(θ?+β1+??)-r1cos(θ+?)+????R21-[R1sin(θ+β1+?)-r1sin(θ+?)]2[180-?θ180-?+arcsin2R1sinαsin(α+β1)4R12sin2α+r12-4R1r1sinαcos(α+β1)]] （6）
由微分几何可知，叶片点的安放角[β]与点的极坐标的关系为：
[tgβ=drrdθ]
则由式（5）和式（6）可求出圆弧上点的安放角。
4 算例与讨论
为了便于比较，以胡家顺等［16］文中例子进行计算，并作图比较。已知r1=10 mm，r2=28 mm，[?]=110°，β1=25°，β2=30°，[α=60]°，如图2所示。计算结果如表1所示，表中R和θ为圆弧上点的极坐标。
从表1的比较可知本文的画图法与文献［16］方法完全一致。根据绘图所得到的圆弧半径分别为14.71 mm和28.34 mm；根据公式得到圆弧半径分别为14.713 mm和28.341 mm。上述计算结果表明验证了本作图法的准确性及所得到的公式的正确性。但要说明因为本文中圆弧的起点和文献［16］不同，表1中用解析法计算r时，用“θ+60”代替式（5）和式（6）中的θ；当θ+60>120时用公式（6）。
图3给出不同的[α]取值时用上述作图法得到的3组圆弧。可以得知：第一段圆弧的圆心始终在直线AB上，第二段圆弧的圆心始终在直线CD上；较大的[α]对应于较小包角的第一段圆弧，相应地第二段圆弧的包角则较大；但是两段圆弧的半径都较小；随着[α]的减小，两段圆弧的半径都将增大，第一段圆弧的包角也随之增大，曲线也变得陡峭，安放角变化快，第二段圆弧的包角则随之减小，曲线也变得平缓，安放角变化慢。综合考虑，[α]居中，即取60°时，最有利于获得较好的离心泵性能，这一点与文献［16］结论一致。