<G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-1.tif>[ps][裂缝1][裂缝3][裂缝2][Q][q1][q2][q3][ph][储集层][井筒][pr][pc][pμ][pc][射孔簇][pf][pdh]
图1 同时多簇压裂工作原理示意图
Fig. 1 Schematic diagram of simultaneous multi-fracture limited-entry fracturing treatment
但是，当多条裂缝同时发育时，每条裂缝都会造成自身周围应力场的变动，并将产生的额外压应力施加给其余裂缝，这便是应力阴影效应［3-4］。生产测井数据［4-6］表明：应力阴影效应会使约占射孔簇总数20%的少数射孔簇成为优先射孔簇。从该处起裂的裂缝受到的闭合压力小于在其余大部分射孔簇处起裂的裂缝所受的闭合压力。因此，大多数压裂液会经过优先射孔簇流入这一小部分裂缝中，使其优先发育。以致在生产阶段，80%左右的油气总产量来自优先射孔簇，同时有约30%的射孔簇处不会产生任何油气，达不到“在各射孔簇较均匀地产出油气”的目标。
应力阴影效应对压裂结果的消极影响可以通过限流压裂方法得到有效改善［5-7］。其基本原理是通过减少射孔的数目及直径，提高图1中的射孔摩阻pr，平衡应力阴影效应，使得各条裂缝较均匀地发育［8-10］。所以，本文讨论的压裂方法是同时使用“限流”和“同时多簇”的压裂方法，即“同时多簇限流”压裂。
另一方面，在压裂过程中，大量支撑剂随着压裂液高速冲击射孔边缘，较大程度改变射孔的几何尺寸及形状［4， 8， 11］。这一物理现象称为“射孔冲蚀”。该过程如图2所示。
研究表明，射孔冲蚀会削弱限流压裂对应力阴影效应的改善作用，使得压裂达不到“多条裂缝均匀发育”的目的［8-10］。这种对压裂结果的消极影响也被称为射孔冲蚀效应。所以，如何选取合适的射孔数目克服应力阴影效应和射孔冲蚀效应，获得较理想的压裂结果是非常规油气研究中值得研究的问题。因此，本文使用前期建立的射孔冲蚀数值模型和全三维水力压裂软件FrackOptima，定量研究射孔冲蚀效应下射孔数目对压裂结果的影响，为实际复杂工况条件下的同时多簇限流压裂优化设计提供理论依据。
1 射孔冲蚀数值模型
在压裂过程中，因为压裂由直径较大的井筒截面进入直径很小的射孔截面，会产生“伯努利式”的压力损失，所以采用伯努利方程来计算射孔摩阻pr ［6-8］：
[pri=8ρπ2C2diD4ini2q2iQ=i=1mqi] （1）
式（1）中：qi是通过第i个射孔簇的压裂液体积流量；Q是压裂液总体积流量；ρ是压裂液密度；ni是第i个射孔簇处的射孔数目；Cdi是第i个射孔簇的流量系数，它代表射孔入口处的几何形状（图2）对射孔摩阻的影响［11］；Di是第i个射孔簇的射孔直径；pri是第i个射孔簇处的射孔摩阻；m是射孔簇总数。所有物理量的单位均为国际单位制单位。式（1）中，在计算射孔摩阻pr的众多物理量里，流量系数Cd和射孔直径D都会因为支撑剂对射孔的冲蚀作用而不断地同时变大，很难做到精确控制［11］。
Crump等 ［4］的实验研究表明冲蚀过程由2个阶段构成：（1）冲蚀开始后，Cd立刻快速变大，导致射孔摩阻pr迅速下降。同时，D也在缓慢地增大，但是Cd的快速增大占主导地位；（2）当Cd增大到某一特定常数Cdmax （通常在0.9左右）后，就保持不变，而D继续缓慢地增大。
为了量化Cd和D的同时增大，相关研究［5-10］建立了许多传统射孔冲蚀模型。根据建模理论基础的不同，可将它们分为两类。第一类模型假设射孔直径D在冲蚀过程中为已知量［5］或常数［6］。由于这一假设不符合“在冲蚀过程中D是一个不断增大的未知量”的物理事实，因此文献［7-8］提出了更接近物理事实的“两阶段”理论假设作为第二类模型的建模理论基础：冲蚀第一阶段中，Cd增大而D保持不变；当Cd增大到某一常数Cdmax后进入第二阶段。在该阶段中Cd保持不变，D开始增大。以该“两阶段”理论为建模基础，文献［9-10］进一步扩展了第二类模型，考虑了前置液阶段压裂液黏度、压裂液流量的变化率等因素对冲蚀过程的影响。然而，本文的前期研究文献［11］表明：上述Cd和D交替增大的理论假设是不合理的。
上述传统模型的主要缺点是因为建模理论基础回避了Cd和D在冲蚀过程中同时增大的物理事实，较大幅度地简化了对射孔冲蚀过程的量化表征。针对这一问题，本文的前期研究建立了能够量化表征Cd和D同时增大的模型［11］：
[dDdt=αCv2] （2）
[dCddt=βCv21-CdCdmax] （3）
式中，最大流量系数Cdmax是一个取值0.6到0.95之间的常数；（1-Cd/Cdmax）这一项是非线性拟合方法中的饱和函数项，用来量化表征冲蚀过程中Cd增大到Cdmax便保持不变的变化特征。C和v分别是支撑剂浓度和压裂液流速。因此，Cv2代表了支撑剂的动能。该模型认为：Cd和D的冲蚀变化率与支撑剂的动能Cv2成正比。这和相关冲蚀实验结果相符。正比例系数α和β是2个相互独立的实验参数，它们的值可以通过文献［11］中的拟合方法确定。
该模型能够对Cd和D的同时增大进行计算，因此能够对射孔冲蚀的动态过程进行较精细的量化表征［12］。由于其物理意义比传统模型更明确（冲蚀率和支撑剂动能成正比），在数学表达上更简洁，一旦确定了α和β的值，可以很方便地使用该模型定量研究射孔冲蚀效应。目前，国内外众多科研机构和大型石油公司都选择该模型对限流压裂［12］、酸化压裂［13］、桥塞射孔联作压裂［14］、超临界CO2压裂［15］等多种不同类型压裂过程中的射孔冲蚀效应进行量化表征。
2 射孔冲蚀效应的数值模拟计算
2.1 FrackOptima压裂软件简介
采用课题组和华裔学者徐冠水教授课题组联合研发的压裂软件FrackOptima，建立相关算例进行数值模拟计算。该软件已在壳牌、中国石油勘探开发研究院等国内外大型石油公司得到了实际应用［11， 16-17］。该软件的具体技术细节、相关方程见文献［17］。
另一方面，图1所示的压裂过程中各部分压力满足下列方程［7］：
pdh = ps + ph - pμ - pr （4）
该方程也是FrackOptima的核心方程之一。本文将式（1）~式（3）代入式（4）中的pr即可计算冲蚀导致的Cd和D的同时增大对压裂其余各部分压力的影响，进而计算压裂液流量分布等压裂参数随之产生的变化。
2.2 算例参数
根据实际工况［5-7］，设置如表1和表2所示的算例基本参数。
表1 算例基本参数取值
Tab. 1 Basic parameters of numerical examples
[储集层物性参数 杨氏模量 / GPa 泊松比 韧性 /
（MPa?m0.5） 滤失系数 /
（m/s0.5） 35 0.25 1.5 5×10-5 射孔物性参数 直径 / mm 初始Cd Cdmax 每簇孔数 10 0.6 0.9 12 流体物性参数 黏度 / （Pa?s） 密度 / （kg/m3） 0.1 1 010 支撑剂物性参数 直径 / mm 密度 / （kg/m3） 0.4 2 600 井筒物性参数 直径 / mm 粗糙度 网格尺寸 / m 150 0 10 （水平） × 5（垂直） ]
表2 压裂液泵送时间
Tab. 2 Pumping schedule of fracturing fluid
[流量 / （m3/s） 持续时间 / min 支撑剂浓度 / （kg/m3） 0.16 20 0 0.16 10 64.10 0.16 10 131.58 0.16 10 202.70 0.16 10 277.78 0.16 10 357.14 0.16 10 441.18 0.16 10 530.30 0.16 10 625.00 ]
算例研究的水平井同时多簇压裂基本结构如图3所示。其中40 m厚的储集层被束缚在2层400 m厚的应力屏障层中。竖直实线代表储集层和屏障层的地应力，其中储集层处的地应力σr=30 MPa，上下应力屏障层处的地应力σb=40 MPa，二者相差10 MPa。这样可以有效控制裂缝在垂直缝高方向上的发育，生成缝高为常数的佩金斯-科恩-诺德根（Perkins-Kern-Nordgren，PKN）形裂缝［18］，便于后期对裂缝形态进行比较。射孔簇间距d=15 m。本文算例假设：储集层是均匀各向同性的弹性介质；压裂液是黏度为常数的牛顿流体；支撑剂是圆度为1的球形颗粒；每个射孔簇的孔数相同；压裂液在单个射孔簇的多个射孔均匀分布。前期研究表明，网格尺寸在水平和垂直方向上分别选择10 m和5 m能够在该参数条件下确保数值模拟的稳定性和准确性［11］。前期研究还表明，在上述支撑剂物性参数条件下，α=1.07×10-13 （m2·s/kg），β=1.08×10-8 （m·s/kg）［11］。同时，本文对于每一个射孔冲蚀算例都给出一个不考虑冲蚀的算例进行对比。该对比算例取α=β=0，其余参数和冲蚀算例取值相同。
<G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-3.tif>[σb=40 MPa][σr=30 MPa][σb=40 MPa][射孔簇][井筒][1 2 3 4][应力屏障层
400 m][储集层
40 m][应力屏障层
400 m]
图3 压裂基本结构示意图
Fig. 3 Schematic diagram of fracturing treatment
3 结果与讨论
本文重点研究射孔数对射孔冲蚀效应和压裂结果的影响。图4~图6展示了压裂结束后，每簇射孔数分别为48、12、8的各簇裂缝图。图4~图6中从上到下4条裂缝分别代表从射孔簇1~4起裂的4条裂缝。图中还显示了各条裂缝的缝宽分布和缝长，并通过它们来定量表征裂缝形态。
图4表明，每簇射孔数n=48条件下的压裂已不属于“限流”压裂的范畴。此时，强烈的应力阴影效应使得位于四簇内部的2号簇和3号簇无法获得压裂液流量分配。绝大部分压裂液流经位于四簇外部的1号簇和4号簇，导致裂缝仅在这2处发育。由式（1）可知，n值很大会导致射孔摩阻过小，无法抑制裂缝阴影效应，因此射孔冲蚀对压裂的影响不大，即图4 （a）和图4 （b）中裂缝尺寸差别很小。
<G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-4-1.tif><G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-4-2.tif>[（b）][（a）][12
10
8
6
4
2][裂缝缝宽 / mm][12
10
8
6
4
2][裂缝缝宽 / mm][缝长 / m][630.07
48.76
48.76
630.07][缝长 / m][631.21
47.51
47.51
631.21]
图4 48孔/簇时FrackOptima计算得到的裂缝图：
（a）不考虑冲蚀，（b）考虑冲蚀
Fig. 4 Fractures obtained by FrackOptima at n=48：
（a） without erosion，（b） with erosion
图5表明，当n从48减少到12时，压裂属于“限流”压裂范畴。根据式（1），n值变小，射孔摩阻增大，能够较好地抑制裂缝阴影效应，促使4条裂缝较均匀地发育。但是射孔冲蚀效应也随之变得较为明显。对比图5（a）和图5（b）裂缝的缝长和缝宽分布可以发现，冲蚀使得裂缝发育不均匀的情况更加明显。
<G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-5-1.tif>[8
7
6
5
4
3
2
1
][裂缝缝宽 / mm][缝长 / m][358.24
330.86
330.86
358.24]<G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-5-2.tif>[（b）][（a）][8
7
6
5
4
3
2
1
][裂缝缝宽 / mm][缝长 / m][379.96
324.23
324.23
379.96]
图5 12孔/簇时FrackOptima计算得到的裂缝图：
（a）不考虑冲蚀，（b）考虑冲蚀
Fig. 5 Fractures obtained by FrackOptima at n=12：
（a） without erosion，（b） with erosion
图6则表明，当n从12继续减少到8时，根据式（1），n值进一步变小，射孔摩阻进一步增大，能够更加有效地抑制应力阴影效应，促使4条裂缝更为均匀地发育。
<G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-6-1.tif>[8
7
6
5
4
3
2
1
][裂缝缝宽 / mm][缝长 / m][358.28
349.42
349.42
358.28]<G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-6-2.tif>[（b）][（a）][8
7
6
5
4
3
2
1
][裂缝缝宽 / mm][缝长 / m][371.56
339.07
339.07
371.56]
图6 8孔/簇时FrackOptima计算得到的裂缝图：
（a）不考虑冲蚀，（b）考虑冲蚀
Fig. 6 Fractures obtained by FrackOptima at n=8：
（a） without erosion，（b） with erosion
图7显示的是压裂液在4个射孔簇的流量分布百分比。由于对称性，1号簇和4号簇的流量分布相同，2号簇和3号簇的流量分布相同。理想情况下，压裂液应在四簇完全平均分布，体现在分布百分比图中，4个簇的流量分布曲线应重合在值为25%的水平线上。因此，4个簇的流量分布曲线越收敛于25%，表明压裂液分布越均匀。所以，图7清晰地表明，射孔数越少，射孔摩阻越大，其克服应力阴影的效果越好，压裂液分布也就越均匀。此外，对比图7和图8中不考虑冲蚀和考虑冲蚀的曲线可以发现，射孔冲蚀会使得曲线发散，即使得压裂液分布不均匀的情况更加明显。而射孔数越少，射孔冲蚀对流量分布的负面影响越弱。
图8显示的是n=8，12，48时，各簇射孔摩阻随时间的变化规律。
图8（c）表明，当采用非“限流”压裂开发常规油气时，因为射孔数较大，射孔摩阻的值很小，其瞬时动态变化也较小，所以可以忽略不计。但是图8（a）和图8（b）表明，当使用“限流”压裂开发非常规油气时，射孔摩阻的值较大，其瞬时动态变化也较明显，不能忽略不计射孔摩阻。
图9展示了不同孔数条件下的压裂过程中，射孔直径D和流量系数Cd的变化过程。该模型可以同时计算D和Cd在压裂过程的瞬时变化。
<G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-9-1.tif><G:\武汉工程大学\2023\第6期\袁传澳-9-2.tif>[（b）][（a）][0 20 40 60 80 100
持续时间 / min][10.6
10.5
10.4
10.3
10.210.1
10.0
][射孔直径 / mm][12孔/簇；射孔簇1和4
12孔/簇；射孔簇2和3][1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
][流量系数][0 20 40 60 80 100
持续时间 / min][8孔/簇；射孔簇1和4
8孔/簇；射孔簇2和3][8孔/簇；射孔簇1和4
8孔/簇；射孔簇2和3
12孔/簇；射孔簇1和4
12孔/簇；射孔簇2和3]
图9 压裂过程中射孔直径的变化（a）和
流量系数的变化（b）
Fig. 9 Changes of perforation diameter （a） and discharge
coefficient （b） in fracturing treatment
图9可以清晰地量化表征不同孔数条件下，射孔冲蚀效应的强弱。当射孔数较少时，射孔直径和流量系数的变化率都要大于射孔数较多时二者的变化率。这表明，射孔数少时，不仅射孔摩阻增大，射孔冲蚀效应也会变得明显。
另一方面，图10展示了压裂过程中n为8和12时井底压力的变化。为了施工安全，一般将井底压力控制在48 MPa以内［11］。当n=8时，即使不考虑冲蚀，井底压力也不会超过48 MPa。因此，综合上述算例结果，在上述算例参数条件下，选择8孔/簇有望获得较满意的压裂效果。
4 结 论
为了解决同时多簇限流压裂过程中射孔冲蚀效应使得射孔簇处射孔数目难以确定的问题，本文使用前期研究得到的射孔冲蚀模型和全三维水力压裂软件FrackOptima，经过数值计算，得到如下结论：
（1） 当使用传统“非限流”压裂方法时，射孔摩阻的值很小，其瞬时动态变化也较小，所以可以忽略射孔冲蚀对压裂结果的影响。但是，当使用“同时多簇限流”压裂开发非常规油气时，射孔摩阻的值较大，其瞬时动态变化也较明显，因此必须考虑射孔冲蚀对压裂结果的影响。
（2） 在同时多簇限流压裂过程中，当每簇射孔数较少时，可以得到较大的射孔摩阻，从而较好地平衡应力阴影效应，同时射孔冲蚀效应对压裂液流量分布的负面影响也较弱，使得多条裂缝较均匀地同时发育。但是孔数过少会导致射孔摩阻过大，从而提高井底压力。而为了施工安全，必须控制井底压力。因此，在算例参数条件下，选取8孔/簇较为适宜。